Application linéaire sur un espace de fonctions trigonométriques
Partie
Question
Soit \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) l'espace vectoriel des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), et \(E\) le sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) engendré par les applications \(e_0, e_1\) et \(e_2\) suivantes :
\(e_0 :x\mapsto1,\quad e_1 :x\mapsto\cos x,\quad e_2 :x\mapsto\cos^2x\)
Soit \(f\) l'application linéaire de \(E\) dans \(F(\mathbb R,\mathbb R)\), définie par :
\(\begin{array}{cccc}f :&E&\rightarrow&F(\mathbb R,\mathbb R)\\&y&\mapsto& y"+4y\end{array}\)
( \(y"\) étant la dérivée seconde de la fonction \(y\))
Montrer que \(\textrm{Im}(f)=\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\).
Déterminer \(\textrm{Ker}(f)\).
Aide simple
Considérer un élément \(u\) de \(\textrm{Im}(f)\), u est donc l'image d'un élément \(y\) de \(E\).
Ecrire \(y\) comme une combinaison linéaire des vecteurs \(e_0\), \(e_1\) et \(e_2\), et calculer son image par \(f\).
Aide méthodologique
Dans la question 1., pour démontrer l'égalité entre deux ensembles \(A\) et \(B\), montrer que \(A\) est contenu dans \(B\) et \(B\) est contenu dans \(A\).
Une autre méthode sera possible lorsque l'on connaîtra le théorème prouvant que l'image de \(f\) est le sous-espace engendré par les images d'une famille génératrice de l'espace de départ : voir la ressource "Application linéaire en dimension finie".
Aide à la lecture
Les vecteurs de \(E\) sont des fonctions réelles définies sur \(\mathbb R\). Il s'agit de prouver (dans la première question) que l'ensemble des images par \(f\) de ces vecteurs est le sous-espace engendré par les deux fonctions \(e_0\) et \(e_1\).
Solution détaillée
On montre que \(\textrm{Im}(f)\subset\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\).
Soit \(u\) un élément de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) appartenant à l'image de \(f\).
Il existe un élément \(y\) de \(E\) tel que \(u=f(y)=y"+4y\).
L'élément \(y\) de \(E\) est une combinaison linéaire des applications \(e_0\), \(e_1\) et \(e_2\),
donc il existe des scalaires \(a_0, a_1,a_2\), tels que \(y=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2\),
donc \(y"+4y=a_0(e"_0+4e_0)+a_1(e"_1+4e_1)+a_2(e"_2+4e_2)\).
On considère les fonctions \(e_0 :\mapsto1,\quad e_1 :\mapsto\cos x,\quad e_2 :\mapsto\cos^2x\).
On en déduit aisément que \(e"_0=0\) et que \(e"_1=-e_1\). On calcule \(e"_2\):
\(e'_2 :x\mapsto-2\sin x\cos x\),
\(e"_2 :x\mapsto-2\cos^2x+2\sin^2x\),
mais \(-2\cos^2x+2\sin^2x=-2\cos^2x+2(1-\cos^2x)=2-4\cos^2x\),
donc \(e"_2=2e_0-4e_2\), d'où \(y"+4y=(4a_0+2a_2)e_0+3a_1e_1\).
Donc , \(u=(4a_0+2a_2)e_0+3a_1e_1\), \(u\) est bien une combinaison linéaire de \(e_0\) et \(e_1\).
On a montré ainsi que \(\textrm{Im}(f)\subset\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\)(*).
On montre que \(\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\subset\textrm{Im}(f)\).
Soit \(u\) un élément de\(\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\), c'est un vecteur de la forme \(ae_0+be_1\), on cherche une fonction réelle \(y\) de la forme \(y=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2\) vérifiant \(f(y)=u=ae_0+be_1\).
On a vu dans la question précédente que \(y"+4y=(4a_0+2a_2)e_0+3a_1e_1\).
Il suffit donc de trouver des scalaires \(a_0,a_1,a_2\) vérifiant le système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcl}4a_0+&2a_2&=&a\\&3a_1&=&b\end{array}\right.\)
Par exemple les scalaires \(\displaystyle{a_0=\frac{a}{4}}\), \(\displaystyle{a_1=\frac{b}{3}}\), \(a_2=0\), vérifient ce système,
donc \(\displaystyle{ae_0+be_1=f(\frac{a}{4}e_0+\frac{b}{3}e_1)}\).
Ceci prouve que \(\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\subset\textrm{Im}(f)\)(**).
Les deux inclusions (*) et (**) entraînent : \(\textrm{Im}(f)=\textrm{Vect}(\{e_0,e_1\})\).
Le sous-espace \(\textrm{Ker}(f)\) est l'ensemble des éléments \(y=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2\) de \(E\)
tels que \(f(y)=0\), or \(f(y)=y"+4y=(4a_0+2a_2)e_0+3a_1e_1\).
Donc \(f(y)=0\) si et seulement si \(\forall x\in\mathbb R,f(y)(x)=0\),
soit \(\forall x\in\mathbb R,(4a_0+2a_2)e_0(x)+3a_1e_1(x)=0\),
soit \(\forall x\in\mathbb R,4a_0+2a_2+3a_1\cos x=0\).
Si \(f(y)=0\), on a en particulier : \(f(y)(0)=0\) et \(\displaystyle{f(y)\left(\frac{\pi}{2}\right)=0}\),
c'est-à-dire \(4a_0+2a_2+3a_1=0\) et \(4a_0+2a_2=0\).
Donc \(a_2=-2a_0\) et \(a_1=0\), donc \(y=a_0(e_0-2e_2)\).
Réciproquement, tout élément de la forme \(y=a_0(e_0-2e_2)\) vérifie l'égalité \(f(y)=0\),
donc \(y=a_0(e_0-2e_2)\) appartient au noyau de \(f\).
Donc \(\textrm{Ker}(f)=\textrm{Vect}(\{e_0-2e_2\})\).