Application linéaire sur un espace de fonctions polynômes
Partie
Question
Soient \(P_2\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à 2, et \(f\) l'application linéaire de \(P_2\) dans \(\mathbb R^2\), définie par :
\(\begin{array}{cccl}f :&P_2&\rightarrow&\mathbb R^2\\&p&\mapsto&(p(1),p'(0))\end{array}\)
Déterminer \(\textrm{Ker}(f)\).
Montrer que \(f\) est surjective.
Aide simple
Considérer \(p\) tel que pour tout réel \(x\), \(p(x)=a+bx+cx^2\),
calculer \(p(1)\) et \(p'(0)\), et chercher des relations entre les coefficients \(a, b,\) et \(c,\) pour que \(p\) appartienne au noyau de \(f\).
Aide méthodologique
On utilise les définitions du noyau d'une application linéaire et de la surjectivité d'une application.
Aide à la lecture
L'image par \(f\) d'une fonction polynôme \(p\) est un couple de réels, formé des valeurs de cette fonction \(p\) et de sa fonction dérivée \(p'\) en des réels fixés donnés.
Solution détaillée
Le sous-espace \(\textrm{Ker(f)}\) est l'ensemble des fonctions polynômes \(p\) qui s'annulent en \(1\), et dont la fonction dérivée s'annule en \(0\).
Soit \(p\) un élément de \(P_2\) : il existe des nombres réels \(a, b, c,\) tels que pour tout réel \(x\),
on ait \(p(x)=a+bx+cx^2\).
Cela entraîne \(p'(x)=b+2cx\), donc \(p\) appartient à \(\textrm{Ker}(f)\) si et seulement si \(p(1)=0\) et \(p'(0)=0\), donc si et seulement si les réels \(a, b, c\) vérifient le système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}a&+&b&+&c&=&0\\&&b&&&=&0\end{array}\right.\) équivalent au système \(\left\{\begin{array}{rcr}b&=&0\\c&=&-a\end{array}\right.\)
Donc \(\textrm{Ker}(f)=\{p\in P_2,\exists a\in\mathbb R,p(x)=a(1-x^2)\}\).
\(\textrm{Ker}(f)\) est le sous-espace vectoriel de \(P_2\) engendré par la fonction \(x\mapsto(1-x^2)\).
L'application \(f\) est surjective si et seulement si tout élément de \(\mathbb R^2\) est l'image par \(f\) d'une fonction polynôme élément de \(P_2\).
Soit donc \((\alpha,\beta)\) un couple de réels.
Le vecteur \((\alpha,\beta)\) est l'image d'une fonction polynôme \(p\) telle que \(p(x)=a+bx+cx^2\) si et seulement si les réels \(a, b, c\) vérifient le système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcr}a&+&b&+&c&=&\alpha\\&&b&&&=&\beta\end{array}\right.\) équivalent au système \(\left\{\begin{array}{rcl}b&=&\beta\\c&=&\alpha-\beta-a\end{array}\right.\)
En choisissant par exemple \(a=0\), \((\alpha,\beta)\) est l'image de la fonction polynôme \(p_0\)
telle que \(p_0(x)=\beta x+(\alpha-\beta)x^2\).
L'application \(f\) est bien surjective.
Remarque :
Les antécédents du vecteur \((\alpha,\beta)\) sont toutes les fonctions polynômes \(p\) telles que
\(p(x)=a+\beta x+(\alpha-\beta-a)x^2=\beta x+(\alpha-\beta)x^2+a(1-x^2)\)
donc l'ensemble des antécédents du vecteur \((\alpha,\beta)\) est l'ensemble \(\{p_0+p,p\in\textrm{Ker}(f)\}\).