Projecteur

Partie

Question

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant \(f\circ f=f\).

Montrer que \(\textrm{Ker}(f)\) et \(\textrm{Im}(f)\) sont supplémentaires.

Soient \(F=\textrm{Ker}(f)\) et \(G=\textrm{Im}(f)\).

Montrer que \(f\) est la projection sur \(G\), parallèlement à \(F\).

(Un endomorphisme vérifiant \(f\circ f=f\) est appelé un projecteur)

Aide simple

Soit \(x\) un élément de \(E\), chercher un élément \(a\) de \(\textrm{Ker}(f)\) et un élément \(b\) de \(\textrm{Im}(f)\), tels que \(x=a+b\).

Pour cela appliquer \(f\) à cette relation en utilisant les propriétés de \(\textrm{Ker}(f)\) et de\(\textrm{Im}(f)\) .

Aide méthodologique

Une méthode pour vérifier que deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires, est de montrer que tout élément \(x\) de \(E\) se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément \(a\) de \(F\) et d'un élément \(b\) de \(G\).

Aide à la lecture

Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires lorsque \(E\) est la somme directe de ces sous-espaces. Dans ce cas, tout élément \(x\) de \(E\) se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément \(a\) de \(F\) et d'un élément \(b\) de \(G\). La projection sur \(G\), parallèlement à \(F\), est l'application qui à \(x\) associe \(b\) (voir la ressource sur les applications linéaires):

\(\begin{array}{ccc}E=F\oplus G&\rightarrow&E\\x=a+b&\mapsto&b\end{array}\)

Solution détaillée

  1. Soit \(x\) un vecteur de \(E\), on cherche

    • un élément \(a\) de \(\textrm{Ker}(f)\), donc tel que \(f(a)=0\),

    • un élément \(b\) de \(\textrm{Im}(f)\), donc tel qu'il existe un vecteur \(c\) de \(E\), tel que \(f(c)=b\),

    vérifiant \(x=a+b\).

    Pour cela, on considère l'image de \(x\) par \(f\). Sachant que \(f\) est linéaire, on remarque que

    \(x=a+b\Rightarrow f(x)=f(a)+f(b)=0+f(f(c))\)

    Or par hypothèses \(f\circ f=f\), d'où \(f(f(c))=f(c)=b\),

    d'où \(x=a+b\Rightarrow f(x)=b\), et donc \(x=a+b\Rightarrow b=f(x)\) et \(a=x-f(x)\).

    Cette valeur de \(a\) convient car le vecteur \(x-f(x)\) appartient au noyau de \(f\),

    en effet \(f(x-f(x))=f(x)-f(f(x))=0\) (car \(f\circ f=f\)).

    Puisque \(x=(x-f(x))+f(x)\), on constate que tout élément \(x\) de \(E\) est la somme de

    l'élément \(a=x-f(x)\) de \(\textrm{Ker}(f)\) et de l'élément \(b=f(x)\) de \(\textrm{Im}(f)\), donc que les vecteurs \(a\) de \(\textrm{Ker}(f)\) et \(b\) de \(\textrm{Im}(f)\) cherchés, tels que \(x=a+b\), existent et sont uniques.

    Donc tout vecteur \(x\) de \(E\) se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément \(a\)

    de \(\textrm{Ker}(f)\) et d'un élément \(b\) de\(\textrm{Im}(f)\) .

    Ceci prouve que \(\textrm{Ker}(f)\) et \(\textrm{Im}(f)\) sont supplémentaires.

  2. Lorsque tout élément \(x\) de \(E\) se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément \(a\) de \(F\) et d'un élément \(b\) de \(G\), la projection sur \(G\), parallèlement à \(F\), est l'application qui à \(x\) associe \(b\).

    Ici tout vecteur \(x\) de \(E\) se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément \(a\) de \(\textrm{Ker}(f)\)et d'un élément \(b\) de \(\textrm{Im}(f)\) où l'élément \(b\) est égal à \(f(x)\).

    Or l'application qui à \(x\) associe \(b=f(x)\), est l'application \(f\) elle-même.

    Donc \(f\) est la projection sur\(\textrm{Im}(f)\) , parallèlement à\(\textrm{Ker}(f)\) .