Noyaux et images des puissances d'un endomorphisme
Partie
Question
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Montrer que \(\forall k\in\mathbb N, \textrm{Ker}(f^k)\subset\textrm{Ker}(f^{k+1})\) et \(\textrm{Im}(f^k)\supset\textrm{Im}(f^{k+1})\).
Montrer que s'il existe un entier \(p\) tel que \(\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+1})\) alors \(\forall s\in\mathbb N^*,\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+s})\).
(On démontrerait de même que s'il existe un entier \(q\) tel que \(\textrm{Im}(f^q)=\textrm{Im}(f^{q+1})\),alors \(\forall s\in\mathbb N^*,\textrm{Im}(f^q)=\textrm{Im}(f^{q+s})\))
Aide simple
Utiliser, selon le contexte, l'une des deux égalités \(f^{k+1}(u)=f(f^k(u))\) ou \(f^{k+1}(u)=f^k(f(u))\), pour tout vecteur \(u\) de \(E\).
Aide méthodologique
Démontrer la question 2. par récurrence sur l'entier \(s\).
Aide à la lecture
L'application \(f^2\) est l'application \(f\circ f\),
l'application \(f^k\) est l'application obtenue par récurrence en composant les applications \(f^{k-1}\) et \(f\) : \(f^k=f^{k-1} \circ f=f \circ f^{k-1}\).
Solution détaillée
Soit \(k\) un entier et soit \(u\) un élément de \(E\), appartenant au noyau de \(f^k\), c'est-à-dire \(f^k(u)=0\).
Comme \(f\) est linéaire, \(f(0)=0\), donc \(f(f^k(u))=0\), soit \(f^{k+1}(u)=0\),
donc \(u\) appartient au noyau de \(f^{k+1}\).
Ceci prouve que \(\textrm{Ker}(f^k)\subset\textrm{Ker}(f^{k+1})\).
Soit \(v\) un élément de \(\textrm{Im}(f^{k+1})\), cela entraîne qu'il existe un élément \(x\) de \(E\) tel que \(v=f^{k+1}(x)\),
donc \(v=f^k(f(x))\), alors \(v\) est l'image par \(f^k\) du vecteur \(f(x)\) donc \(v\) appartient à \(\textrm{Im}(f^k)\).
Ceci prouve que \(\textrm{Im}(f^k)\supset\textrm{Im}(f^{k+1})\).
Il existe un entier \(p\) tel que \(\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+1})\).
On montre par récurrence que pour tout entier \(s\), \(\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+s})\).
Soit \(P(s)\) la propriété \(\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+s})\).
On a \(P(1)\), d'après les hypothèses de la question.
On montre que \(P(s)\) entraîne \(P(s+1)\):
D'après la question précédente, pour \(k=p+s\), on a l'inclusion \(\textrm{Ker}(f^{p+s})\subset\textrm{Ker}(f^{p+s+1})\).
On considère alors un vecteur \(u\) appartenant à \(\textrm{Ker}(f^{p+s+1})\), donc \(f^{p+s+1}(u)=0\),
or\(f^{p+s+1}(u)=f^{p+1}(f^s(u))\), donc \(f^s(u)\) appartient à \(\textrm{Ker}(f^{p+1})\), donc à \(\textrm{Ker}(f^p)\), d'après les hypothèses de cette question.
Donc \(f^p(f^s(u))=f^{p+s}(u)=0\), d'où \(u\) appartient à \(\textrm{Ker}(f^{p+s})\).
Ceci montre l'inclusion \(\textrm{Ker}(f^{p+s+1})\subset\textrm{Ker}(f^{p+s})\).
On a alors \(\textrm{Ker}(f^{p+s})=\textrm{Ker}(f^{p+s+1})\), ce qui entraîne d'après l'hypothèse de récurrence \(P(s)\),
\(\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+s+1})\), qui est la propriété .
D'où \(\forall s\in\mathbb N^*,\textrm{Ker}(f^p)=\textrm{Ker}(f^{p+s+1})\).