Application linéaire du K-espace vectoriel E dans K
Partie
Question
Soient \(E\) un \(\mathbf{K}\textrm{-espace}\) vectoriel et \(f\) une application linéaire non nulle de \(E\) dans \(\mathbf K\).
Montrer que \(f\) est surjective.
Aide simple
Remarquer que, l'application \(f\) étant non nulle, il existe un vecteur \(u\) de \(E\), dont l'image par \(f\) est un scalaire non nul.
Aide méthodologique
Pour vérifier que l'application \(f\) est surjective, on démontre que tout élément de \(\mathbf K\) est l'image par \(f\) d'un élément de \(E\).
Aide à la lecture
Les images par \(f\) des vecteurs de \(E\) sont des éléments du corps \(\mathbf K\), considéré avec sa structure de \(\mathbf{K}\textrm{-espace}\) vectoriel.
Solution détaillée
Puisque l'application \(f\) n'est pas l'application nulle, il existe un vecteur \(u\) de \(E\), dont l'image par \(f\) est un scalaire \(\alpha\) non nul. Or tout scalaire \(\beta\) de \(\mathbf K\) est proportionnel à \(\alpha\), en effet \(\displaystyle{\beta=\frac{\beta}{\alpha}\alpha}\),
donc \(\displaystyle{\beta=\frac{\beta}{\alpha}f(u)=f(\frac{\beta}{\alpha}u)}\) car \(f\) est linéaire.
Ceci entraîne bien que \(f\) est surjective.
Remarque :
On pouvait dire aussi que l'image de \(f\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf K\), et que les seuls sous-espaces vectoriels de \(\mathbf K\) étant {0} et \(\mathbf K\), ce ne peut être {0}, puisque \(f\) est non nulle.
C'est donc \(\mathbf K\), donc \(\textrm{Im}(f)=\mathbf K\), donc \(f\) est surjective.