Exercice 2

Durée : 8 mn

Note maximale : 7

Question

Calculer l'intégrale indéfinie \(\displaystyle{\int\frac{x^4+x^2+2}{(x^2-1)^2}dx}\)

(on indiquera l'ensemble de définition).

Solution

Méthode : il s'agit d'intégrer une fonction rationnelle, définie et continue, donc intégrable, sur les intervalles \(]-\infty,-1[\), \(]-1,1[\) et \(]1,+\infty[\).

[1 point]

  • Première étape : décomposition de la fraction rationnelle :

    \(\displaystyle{\frac{X^4+X^2+2}{(X^2-1)^2}=1+\frac{a}{(X-1)^2}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{(X+1)^2}+\frac{d}{X+1}}\).

    La parité de la fonction correspondante conduit aux égalités : \(a=c\) et \(b=-d\).

    En calculant la valeur de la fonction polynomiale associée (après multiplication par \((X-1)^2\)), pour \(x=1\), puis la valeur pour \(x=0\) on obtient : \(a=c=1\) et \(\displaystyle{b=-d=\frac{1}{2}}\).

    [3 points]

  • Seconde étape : intégration sur chacun des intervalles

    [1 point]

    • sur \(]-\infty,-1[\) et \(\displaystyle{]1,+\infty[~~\int\frac{x^4+x^2+1}{(x^2-1)^2}dx=x-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+k}\).

      [1 point]

    • sur \(\displaystyle{]-1,+1[~~\int\frac{x^4+x^2+1}{(x^2-1)^2}dx=x-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)+k}\)

      [1 point]