Intégrale de Riemann

Méthode : changement de variable.

D'après les règles de Bioche, on peut prendre sinus, cosinus ou tangente comme variable ; on sera dans chaque cas ramené à une fraction rationnelle. En posant \(u=\cos t\), le dénominateur sera le plus simple : \(u^5\).

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\(\begin{array}{lll}\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{4}}\tan^5t~dt}&=&\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{4}}\frac{(1-\cos^2t)^2}{\cos^5t}\sin t~dt}\\&=&\displaystyle{-\int_1^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\frac{(1-u^2)^2}{u^5}du}\\&=&\displaystyle{-\int_1^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\left(\frac{1}{u^5}-\frac{2}{u^3}+\frac{1}{u}\right)du}\\&=&\displaystyle{\left[-\frac{1}{4u^4}+\frac{1}{u^3}+\ln u\right]_{\tfrac{1}{\sqrt2}}^1}\\&=&\displaystyle{\frac{1}{2}\ln~2-\frac{1}{4}}\end{array}\).

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