Exercice 4

Durée : 3 mn

Note maximale : 2

Question

Calculer l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{1+\sin t}dt}\)

Solution

Méthode : changement de variable.

L’intégrale se présente sous la forme \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{\phi'(t)}{\phi(t)}dt}\) avec \(\phi(t)=1+\sin t\). On pose donc \(u=1+\sin t\). On en déduit

\(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{1+\sin t}dt=\int_1^2\frac{du}{u}=\ln~2}\).

[2 points]