Exercice 6
Durée : 4 mn
Note maximale : 3
Question
Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par \((\forall n\ge1)~~\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3+k^3}}\) est convergente et calculer sa limite.
Solution
En écrivant \(u_n\) sous la forme : \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k^2}{n^2}}{1+\frac{k^3}{n^3}}}\)
\(u_n\) apparaît comme une somme de Riemann relative à la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{x^2}{1+x^3}}\) pour la subdivision régulière d’ordre \(n\) de l’intervalle \([0,1]\).
[1.5 point]
On a donc \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\int_0^1\frac{t^2}{1+t^3}dt=\frac{1}{3}\int_0^1\frac{1}{1+u}du=\frac{\ln~2}{3}}\).
[1.5 point]