Exercice 1

Durée : 6 mn

Note maximale : 4

Question

On considère, pour \(x\) réel, \(x<1\), l’intégrale \(\displaystyle{I(x)=\int_0^x\frac{t}{(1-t)^2}dt}\).

  1. Étudier, pour \(x\) réel, \(x<1\), le signe de \(I(x)\).

  2. Calculer \(I(x)\).

Solution

  1. On a :

    \(\displaystyle{\forall x\in]0,1[,~\forall t\in[0,x]~~\frac{t}{(1-t)^2}\ge0}\) d'où \(I(x)\ge0\)

    \(\displaystyle{\forall x<0,~\forall t\in[x,0]~~\frac{t}{(1-t)^2}\le0}\) d'où \(I(x)\ge0\)

    [2 points]

  2. On , pour \(x<1\) :

    \(\begin{array}{lll}\displaystyle{\int_0^x\frac{t}{(1-t)^2}dt}&=&\displaystyle{-\int_0^x\frac{dt}{1-t}+\int_0^x\frac{dt}{(t-1)^2}}\\&=&\displaystyle{\left[\ln(1-t)-\frac{1}{t-1}\right]_0^x}\\&=&\displaystyle{\ln(1-x)+\frac{1}{1-x}-1}\\&=&\displaystyle{\ln(1-x)+\frac{x}{1-x}}\end{array}\)

    [2 points]