Intégrale de Riemann

L’entier \(p\) étant fixé, on a : \(\displaystyle{I_n(p)=\frac{n!}{(p+1)(p+2)\cdots(n+p+1)}=\frac{p!}{(n+1)(n+2)\cdots(n+p+1)}}\),

d’où \(\displaystyle{J_n(p)=\frac{n^{p+1}p!}{(n+1)(n+2)\cdots(n+p+1)}=\frac{p!}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{p+1}{n}\right)}}\).

Le dénominateur est un produit de \(p+1\) facteurs (\(p\) fixe), qui ont pour limite \(1\). On a donc \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}J_n(p)=p!}\)

Pour un réel \(\alpha\) quelconque \(\alpha>1\), la suite \((J_n(\alpha))_n\) étant croissante il suffit de montrer qu’elle est majorée pour en déduire qu’elle est convergente. On va étudier la fonction \(\alpha\mapsto J_n(\alpha)\) ou plutôt \(\alpha\mapsto\ln~(J_n(\alpha))\) , et montrer que, pour \(n\) fixé assez grand, elle est croissante. On aura alors en notant \(p\) la partie entière de \(\alpha\) définie par : \(1\le p\le\alpha<p+1\)

\(J_n(\alpha)\le J_n(p+1)<(p+1)!\)

La fonction \(\alpha\mapsto\ln~(J_n(\alpha))\). a pour dérivée \(\displaystyle{\frac{d}{d\alpha}(\ln~(J_n(\alpha))=\ln n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{\alpha+k}}\)

Compte tenu du fait qu’on a : \(\displaystyle{\forall\alpha>1\quad\ln n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{\alpha+k}>\ln n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k}}\)

il suffit de montrer que cette dernière expression est positive pour \(n\) assez grand.

On a \(\displaystyle{\ln n=\int_1^n\frac{dt}{t}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}\right)}\) , d’où

\(\displaystyle{\ln n-\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}-\frac{1}{k+1}\right)-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}\).

Les inégalités \(\forall k=1,2,\cdots,n-1\) et \(\displaystyle{\forall t\quad k\le t\le k+1 : ~\frac{1}{k+1}\le\frac{1}{t}}\) entraînent

\(\displaystyle{\forall k=1,2,\cdots,n-1\quad\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}-\frac{1}{k+1}>0}\).

L’expression \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}\left(\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}-\frac{1}{k+1}\right)}\) est une somme de termes positifs. On a donc

\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}\left(\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}-\frac{1}{k+1}\right)\ge\int_1^2\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}>\textrm{0,19}}\).

Donc : \(\displaystyle{\forall n\ge10,\quad\ln n-\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k+1}>0}\).

Ainsi \(\forall n\ge10\) et \(1\le p<\alpha<p+1 : J_n(\alpha)<J_n(p)<(p+1)!\)

et la suite \((J_n(\alpha))_n\) croissante, majorée, est convergente.

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