Exercice 3
Durée : 5 mn
Note maximale : 2
Question
Déduire de l'étude précédente qu'on a :
\(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N^*,~\forall x\in]0,n[\quad\left(1-\frac{x}{n}\right)^n<\left(1-\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}}\).
Solution
Pour \(x\) appartenant à l’intervalle ]0,n[, on a alors : \(\displaystyle{0<\frac{x}{n+1}<\frac{x}{n}<1}\).
La décroissance de la fonction \(f\) sur entraîne :
\(\displaystyle{\frac{n}{x}\ln\left(1-\frac{x}{n}\right)<\frac{n+1}{x}\ln\left(1-\frac{x}{n+1}\right)}\)
soit \(\displaystyle{n\ln\left(1-\frac{x}{n}\right)<(n+1)\ln\left(1-\frac{x}{n+1}\right)}\)
La fonction exponentielle étant croissante , on en déduit l’inégalité demandée.
[2 points]