Exercice 3

Durée : 5 mn

Note maximale : 2

Question

Déduire de l'étude précédente qu'on a :

\(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N^*,~\forall x\in]0,n[\quad\left(1-\frac{x}{n}\right)^n<\left(1-\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}}\).

Solution

Pour \(x\) appartenant à l’intervalle ]0,n[, on a alors : \(\displaystyle{0<\frac{x}{n+1}<\frac{x}{n}<1}\).

La décroissance de la fonction \(f\) sur entraîne :

\(\displaystyle{\frac{n}{x}\ln\left(1-\frac{x}{n}\right)<\frac{n+1}{x}\ln\left(1-\frac{x}{n+1}\right)}\)

soit \(\displaystyle{n\ln\left(1-\frac{x}{n}\right)<(n+1)\ln\left(1-\frac{x}{n+1}\right)}\)

La fonction exponentielle étant croissante , on en déduit l’inégalité demandée.

[2 points]