Exercice 5

Durée : 8 mn

Note maximale : 3

Question

On pose \(\forall n\in\mathbb N^*\quad J_n(\alpha)=n^{\alpha+1}I_n(\alpha)\) ;

montrer que la suite \((J_n(\alpha))\) est croissante.

Solution

Le changement de variable \(u=nt\) conduit au calcul suivant

\(\displaystyle{I_n(\alpha)=\frac{1}{n^{\alpha+1}}\int_0^nu^{\alpha}\left(1-\frac{u}{n}\right)^ndu}\),

d'où \(\displaystyle{J_n(\alpha)=\int_0^nu^{\alpha}\left(1-\frac{u}{n}\right)^ndu<\int_0^{n+1}u^{\alpha}\left(1-\frac{u}{{n+1}}\right)^{n+1}du}\)

d’après les inégalités démontrées dans l'exercice 3. On a donc \(0<J_n(\alpha)<J_{n+1}(\alpha)\).

Pour \(\alpha\) fixé, la suite \((J_n(\alpha))_n\) est donc croissante.

[3 points]