Intégrale de Riemann

Le changement de variable \(u=nt\) conduit au calcul suivant

\(\displaystyle{I_n(\alpha)=\frac{1}{n^{\alpha+1}}\int_0^nu^{\alpha}\left(1-\frac{u}{n}\right)^ndu}\),

d'où \(\displaystyle{J_n(\alpha)=\int_0^nu^{\alpha}\left(1-\frac{u}{n}\right)^ndu<\int_0^{n+1}u^{\alpha}\left(1-\frac{u}{{n+1}}\right)^{n+1}du}\)

d’après les inégalités démontrées dans l'exercice 3. On a donc \(0<J_n(\alpha)<J_{n+1}(\alpha)\).

Pour \(\alpha\) fixé, la suite \((J_n(\alpha))_n\) est donc croissante.

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