Exercice 2

Durée : 16 mn

Note maximale : 11

Question

Soit \(f\) la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x}\ln(1-x)}\).

  1. Déterminer l’ensemble \(D\) de définition de \(f\), montrer que \(f\) est prolongeable en une fonction continue en \(0\).

  2. Étudier la variation de \(f\) et tracer son graphe. On étudiera, en particulier, le comportement de \(f\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) et \(x\) tend vers \(1\).

  3. Calculer le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de \(0\) de \(f\) ; en déduire la position du graphe par rapport à la tangente en ce point.

Solution

  1. On a \(D=]-\infty,0[\bigcup]0,1[\). Par ailleurs \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1}\), on pose \(f(0)=-1\) et ainsi la fonction \(f\) est prolongée en une fonction continue sur \(]-\infty,1[\).

    [2 points]

  2. Le calcul de la dérivée de \(f\) donne, pour \(x<1\),

    \(\begin{array}{lll}f'(x)&=&\displaystyle{-\frac{1}{x^2}\ln(1-x)-\frac{1}{x(1-x)}}\\&=&\displaystyle{-\frac{1}{x^2}\left(\ln(1-x)+\frac{x}{1-x}\right)}\\&=&\displaystyle{-\frac{1}{x^2}I(x)}\end{array}\).

    D'après l'exercice 1 on a donc \(\displaystyle{\forall x<1,~x\ne0~~\ln(1-x)+\frac{x}{1-x}\ge0}\)

    d'où \(f'(x)\le0\).

    La fonction \(f\) est donc décroissante sur \(]-\infty,1[\) et

    • quand \(\displaystyle{x\rightarrow-\infty\quad\frac{\ln(1-x)}{x}=\frac{\ln(-x)+\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x}}\) d'où \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\ln(1-x)}{x}=0}\)

    • quand \(\displaystyle{x\rightarrow1\quad\frac{\ln(1-x)}{x}\rightarrow-\infty}\).

    [7 points]

  3. Au voisinage de \(0\) on a :

    \(\displaystyle{\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\epsilon(x)x^3}\) avec \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\),

    d'où \(\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}\ln(1-x)=-1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{3}+\epsilon(x)x^2}\).

    Ce développement limité au voisinage de \(0\) montre que la fonction \(f\) est dérivable en \(0\), que \(\displaystyle{f'(0)=-\frac{1}{2}}\) et que le graphe de \(f\) au point \((0,-1)\) a donc pour tangente la droite d'équation \(\displaystyle{y=-\frac{x}{2}-1}\), le graphe est, au voisinage de ce point, en dessous de sa tangente.

    [2 points]