Exercice 4

Durée : 10 mn

Note maximale : 4

Question

Soit \(\alpha\) un réel strictement positif ; on considère l’intégrale : \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N^*\quad I_n(\alpha)=\int_0^1t^{\alpha}(1-t)^ndt}\).

Calculer \( I_n(\alpha)\) à l’aide de \(n\) intégrations par parties successives.

Solution

Pour \(n\ge1\) on obtient, en intégrant par parties, \(\begin{array}{lll}I_n(\alpha)&=&\displaystyle{\int_0^1t^{\alpha}(1-t)^ndt}\\&=&\displaystyle{\left[\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}(1-t)^n\right]_0^1+\frac{n}{\alpha+1}\int_0^1t^{\alpha+1}(1-t)^{n-1}dt}\\&=&\displaystyle{\frac{n}{\alpha+1}\int_0^1t^{\alpha+1}(1-t)^{n-1}dt}\end{array}\)

d’où \(\displaystyle{I_n(\alpha)=\frac{n}{\alpha+1}I_{n-1}(\alpha+1)}\).

D'où : \(\begin{array}{lll}I_n(\alpha)&=&\displaystyle{\frac{n(n-1)\cdots2.1}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n)}\int_0^1t^{\alpha+n}dt}\\&=&\displaystyle{\frac{n!}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n)(\alpha+n+1)}}\end{array}\).

[4 points]