Ensemble des polynômes, vocabulaire
Soit K un corps. On appelle polynôme à coefficients dans \(K\) (ou polynôme formel à coefficients dans \(K\), s'il peut y avoir confusion avec une fonction polynôme), un objet mathématique qui s'écrit de manière unique sous la forme : \(a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\)
où \(n\) est un élément de \(N\), \(a_0,a_n,\ldots,a_{n-1},a_n\) sont des éléments de \(K\), appelés coefficients du polynôme, et \(X\) un objet qui porte le nom d'indéterminée (et qui est lui-même un polynôme particulier, on verra quelques lignes plus loin que \(X^k\) est bien la puissance \(k\) - ième du polynôme \(X\) ce qui prouve que la notation utilisée est cohérente).
Exemple :
\(1+X+X^2\) est un polynôme à coefficients réels.
Remarque :
Si un coefficient est nul, il est possible de ne pas écrire le terme correspondant et inversement en cas de besoin, on peut rallonger l'écriture en introduisant des coefficients nuls. Par exemple :
On écrit \(-6+X^3\) (au lieu de \(-6+0X+0X^2+X^2\)).
Soit \(k\)un élément quelconque de \(\mathbb{N}\). Alors \(X^k\) est un polynôme.
On peut écrire, si le contexte le rend nécessaire, \(2+X+0X^2\) ou \(2+X+0X^2+0X^3\) (au lieu de \(2+X\)).
Si \(n\) est un entier égal à zéro, on dit que l'on a un polynôme constant. Ainsi tout élément de \(K\) est un polynôme.
Deux polynômes constants particuliers vont intervenir : le polynôme 0 appelé le polynôme nul et le polynôme 1.
Règle : Notations
On note indifféremment l'expression explicite d'un polynôme dans l'ordre des puissances croissantes de \(X\) ou dans l'ordre des puissances décroissantes autrement dit :
\(a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\) ou \(a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots a_1X+a_0\)
Souvent (mais cela n'a rien d'obligatoire) "l'indéterminée" est notée par une lettre majuscule \(X, Y, Z, T\), etc. pour marquer la différence avec le traditionnel x minuscule qui désigne la variable pour une fonction polynôme.
On convient de noter un polynôme \(P\) (\(Q\) ou \(f\) ou etc.) en parlant d'un polynôme non explicité mais on dit ou écrit un polynôme \(P(X)\) (\(Q(X)\) ou \(f(X)\) ou etc.) si le polynôme est explicité à l'aide de ses coefficients et de l'indéterminée \(X\).
Par exemple on note \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\)
et non pas \(P=a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\).
Par contre, on dit volontiers " soit \(P\) un polynôme à coefficients... ".
L'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps \(K\) est noté \(K[X]\)
(ou \(K[Y]\), \(K[Z]\), \(\ldots\) en cohérence avec la notation de l'indéterminée).