Structure d'anneau de K[X]
Un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition internes vérifiant un certain nombre de propriétés. On a déjà vu que \(K[X]\) est muni d'une addition qui en fait un groupe commutatif. Nous allons définir la deuxième loi interne : le produit de deux polynômes.
Définition : du produit de deux polynômes
Soient \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0\)
et \(Q(X)=b_sX^s+b_{s-1}X^{s-1}+\ldots+b_1X+b_0\)
deux polynômes à coefficients dans \(K\).
Alors \(P(Q)\) est le polynôme \(c_{n+s}X^{n+s}+\ldots+c_1X+c_0\) avec
\(\forall k, 0\leq k\leq n+s\), \(c_k=\displaystyle\sum_{j=0}^{j=k}a_jb_{k-j}\)
En particulier \((a_kX^k)(b_sX^s)=a_kX^{k+s}\).
Propriété : du produit des polynômes
Tous les polynômes considérés dans ces formules sont des éléments de \(K[X]\).
Alors le produit des polynômes :
est associatif c'est-à-dire que pour tout polynôme \(P\), \(Q\), et \(R\) on a :\((PQ)R=P(QR)\)
est commutatif c'est-à-dire que pour tout polynôme \(P\) et \(Q\) on a : \(PQ=QP\)
admet un élément neutre, qui est le polynôme constant égal à 1, puisqu'il vérifie pour tout polynôme P l'égalité : \(1P=P1=P\)
est distributif par rapport à l'addition c'est-à-dire que pour tout polynôme \(P\), \(Q\), et \(R\) on a :\(P(Q+R)=PQ+PR\)
L'ensemble des propriétés de l'addition et du produit des polynômes conduit au théorème de structure suivant :
Théorème : Structure d'anneau de K[X]
Muni de l'addition et du produit, \(K[X]\) est un anneau commutatif.
Degré du produit de deux polynômes
De la définition du produit de deux polynômes, on déduit immédiatement la propriété suivante
Proposition : Degré du produit de deux polynômes
Soient \(P\) et \(Q\) deux éléments non nuls de \(K[X]\). Alors \(PQ\) est non nul et
\(deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)\)
Il en résulte immédiatement la propriété importante suivante :
Proposition : Intégrité de l'anneau K[X]
L'anneau des polynômes à coefficients dans un corps \(K\) est intègre, c'est-à-dire que si \(P\) et \(Q\) sont deux éléments de \(K[X]\), \(PQ=0\) implique \(P=0\) ou \(Q=0\).
Remarque :
\(K[X]\) n'est pas un corps.
Il est simple de montrer, en utilisant des considérations de degré, que les seuls éléments inversibles pour le produit \(K[X\) de sont les polynômes constants non nuls.