Dérivée d'un polynôme
Définition et propriétés
Soit un corps \(K\) et \(K[X]\)l'ensemble des polynômes à coefficients dans \(K\).
Définition : Polynôme dérivé
Soit \(P(x)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\) un élément de \(K[X]\), où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1.
On appelle polynôme dérivé de \(P\) le polynôme \(p'(X)=a_1+2a_2X+3a_3X^2+\ldots+na_nX^{n-1}\)
Si \(P\) est un polynôme constant, son polynôme dérivé est le polynôme nul.
Si \(n\) est supérieur ou égal à 1, on peut aussi écrire \(P'(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}ka_kX^{k-1}\).
Exemple :
Soit le polynôme à coefficients réels \(P(x)=X^4-2X+1\).
Alors \(P'(x)=4X^3-2\).
Attention :
Cette définition est tout à fait naturelle car elle s'inspire de dérivation des fonctions polynômes.
Mais que signifie \(na_n\)? La notation peut conduire à une interprétation erronée. En effet sauf dans le cas où le corps \(K\) contient l'ensemble \(N\), \(na_n\) ne peut être interprété comme un produit.
En fait, si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2, et a un élément quelconque de \(K\), \(na\) est la somme de \(n\) éléments égaux à \(a\).
Les règles de calcul habituelles sont encore vraies ici car elles découlent simplement des propriétés algébriques des opérations sur \(K[X]\).
Propriété : de la dérivation des polynômes relativement à la structure de K[X]
Pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) de \(K[X]\) et tout scalaire \(\alpha\), on a :
\((P+Q)'=P'+Q'\)
\((\alpha P)'=\alpha P'\)
\((PQ)'=P'Q=PQ'\)
Lorsque les coefficients sont dans \(R\) ou \(C\), il est possible de donner une expression du degré du polynôme dérivé :
Proposition : Cas de R[X] ou de C[X]: Degré du polynôme dérivé d'un polynôme à coefficients réels ou complexes.
Soit \(P\) est un polynôme non nul de degré \(n\),
Si \(n=0\), \(P'=0\),
Si \(n\geq 1\), le polynôme \(P'\) est non nul et son degré est égal à \(n-1\).
Cela est immédiat à partir de la définition du degré d'un polynôme et du polynôme dérivé.
Dérivées successives d'un polynôme
On définit par récurrence la dérivée k - ième d'un polynôme.
Définition : de la dérivée k - ième d'un polynôme, où k est un entier positif
On définit \(P^{(0)}\) de la manière suivante : \(P^{(0)}=P\)
Par récurrence, on définit \(P^{(k)}=[P^{(k-1)}] '\)de la manière suivante :
Remarque :
On écrit, bien sûr, \(P^{(1)}=P'\) et \(P^{(2)}=P''\).
Remarque : importante, valable dans R[X] ou C[X]:
La considération des degrés permet de démontrer grâce à une récurrence que, si \(P\) est un polynôme de degré \(n\), \(P^{n+1}\) est le polynôme nul.