Structure d'espace vectoriel de K[X]
Addition
Définition : Addition de deux polynômes
Soit \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients dans \(K\). Quitte à introduire des coefficients, il existe un entier \(n\) tel que :
\(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0\)
\(Q(X)=b_nX^n+b_{n-1}X^{n-1}+\ldots+b_1X+a_0\)
Alors \(P+Q\) est le polynôme \(c_nX^n+\ldots+c_1X+c_0\) avec
\(\forall k\), \(0\leq k\leq n\), \(c_k=a_k+b_k\)
Remarque :
cette définition est tout à fait naturelle et conforme à l'intuition, mais elle nécessite ensuite une analyse des degrés.
Il est clair, compte tenu de cette définition, que toutes les propriétés de l'addition
dans \(K[X]\) se déduisent immédiatement des propriétés de l'addition dans \(K\).
On obtient alors le théorème suivant :
Propriété : de l'addition des polynômes
Tous les polynômes considérés dans ces formules sont des éléments de \(K[X]\). Alors l'addition des polynômes :
est associative, c'est-à-dire que pour tous polynômes \(P\), \(Q\), et \(R\) on a : \((P+Q)+R=P+(Q+R)\)
est commutative, c'est-à-dire que pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) on a :
\(P+Q=Q+P\)
admet un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un polynôme \(P_0\) tel que pour tout polynôme \(P\), on ait : \(P_0+P=P+P_0=P\)
C'est le polynôme nul, noté 0.
est telle que tout élément a un symétrique, c'est à dire que pour tout polynôme \(P\) il existe un polynôme \(P'\) tel que :
\(P+P'=P'+P=0\)
Si \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0\),
le symétrique de \(P\) est le polynôme \(-a_nX^n-a_{n-1}X^{n-1}-\ldots-a_1X-a_0\).
On le note \(-P\).
Ces propriétés permettent de dire que l'ensemble des polynômes muni de la loi + est un groupe commutatif.
Degré de la somme de polynômes
De la définition de la somme de deux polynômes, on déduit immédiatement la propriété suivante :
Proposition : degré de la somme de polynômes
Soient \(P\) et \(Q\) deux éléments non nuls de \(K[X]\).
Si \(degP\neq deg Q\), alors le polynôme \(P+Q\) est non nul et \(deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q))\)
Si \(degP=degQ\) \(et si\) le polynôme \(P+Q\) est non nul, alors \(deg(P+Q)\leq deg(P)\)
Exemple :
Soit \(P(X)=X^2+X+1\) et \(Q(X)=X^3-3\), polynômes de \(R[X]\).
Alors \((P+Q)(X)=X^3+X^2+X-2\). C'est un polynôme de degré égal à 3 qui est bien le plus grand des deux degrés à savoir 2 et 3.
Soit \(P(X)=X^2+X+1\) et \(Q(X)=-X^2+2X-3\), polynômes de \(R[X]\).
Alors \((P+Q)(X)=3X-2\). C'est un polynôme non nul de degré égal à 1. Ce degré est strictement inférieur à 2. Ce phénomène se produit lorsque la somme fait intervenir deux polynômes de même degré dont les termes dominants s'éliminent.
Soit \(P(X)=X^2+X+1\)et \(Q(X)=X^2+2X-3\), polynômes de \(R[X]\).
Alors \((P+Q)(X)=2X^2+3X-2\). C'est un polynôme non nul de degré égal à 2, qui est le degré de \(P\) et de \(Q\).
Soit \(P(X)=X^2+X+1\) et \(Q(X)=-X^2-X-1\), polynômes de \(R[X]\).
Alors \((P+Q)=X^2+X+1\)et l'on ne peut pas parler du degré de \(P+Q\).
Produit par un scalaire
Définition : produit d'un polynôme par un scalaire
Soient \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0\) un polynôme à coefficients dans \(K\).
Soit \(\alpha\) un élément quelconque de \(K\).
Alors \(\alpha P\) est le polynôme \(c_nX^n+\ldots+c_1X+c_0\) avec \(\forall k\), \(0\leq k\leq n\), \(c_k=\alpha a_k\)
Remarque :
Là, aussi, cette définition est tout à fait naturelle et conforme à l'intuition. Si \(\alpha\) et \(P\) sont non nuls, \(\alpha P\)et \(P\) ont le même degré.
Il est clair, compte tenu de cette définition, que toutes les propriétés du produit d'un élément de \(K[X]\) par un scalaire de \(K\) se déduisent immédiatement des propriétés du produit de \(K\). On obtient alors le théorème suivant :
Propriété : du produit d'un polynôme par un scalaire
Tous les polynômes considérés dans ces formules sont des éléments de et les scalaires des éléments de K. Alors on a les propriétés suivantes :
pour tous polynômes \(P\), \(Q\), et tout scalaire , on a : \(\alpha(P+Q)=\alpha P+\alpha Q\)
pour tout polynôme \(P\) et tous scalaires \(\alpha\) et \(\beta\), on a : \((\alpha+\beta)P=\alpha P+\beta P\)
pour tout polynôme \(P\) et tous scalaires \(\alpha\) et \(\beta\), on a : \((\alpha\beta)P=\alpha(\beta P)\)
pour tout polynôme \(P\) : \(1P=P\)
où 1 est l'unité de \(K\).
L'ensemble des propriétés de l'addition et du produit par un scalaire permet d'énoncer le théorème de structure suivant :
Théorème : Structure d'espace vectoriel de K[X]
L'ensemble \(K[X]\), muni de l'addition et du produit par un scalaire définis dans les propositions précédentes, est un espace vectoriel sur \(K\).