Degré d'un polynôme
La notion de degré joue un rôle essentiel dans la théorie des polynômes.
Définition : Degré d'un polynôme non nul
Soit \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\) un polynôme non nul. Le degré de \(P\) est le plus grand entier \(k\) tel que \(a_k\) soit différent de 0.
Cette définition a un sens puisque, d'après la définition du polynôme nul, un polynôme non nul a au moins un coefficient non nul.
Remarque : Que veut dire l'expression : se donner un polynôme de degré n ?
C'est se donner \(n+1\) coefficients \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) avec \(a_n\) non nul
tels que \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\).
Le polynôme \(a_kX^k\), avec \(a_k\) non nul est appelé monôme de degré \(k\).
Exemple :
Soit le polynôme à coefficients dans \(R\), \(P(X)=X^3-X+1\). Il est de degré 3.
Soit \(a\) un réel et \(P_a(X)=(a-1)aX^2+aX+2\).
Si \(a=1\), le polynôme est de degré 1 (puisque égal à \(X+2\)), si \(a=0\)le polynôme est de degré 0 (puisque égal au polynôme constant 2), enfin si \(a\) est différent de 0 et de 1, le polynôme est de degré 2 (puisque le coefficient de \(X^2\) n'est pas nul).
Attention :
Écrire \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_kX^k\) ne signifie pas que \(P\) est de degré \(k\) tant que l'on n'a pas rajouté \(a_k\neq 0\).
Si \(P\) est un polynôme non nul, l'expression \(a_nX^n\) où \(n\) est le degré de \(P\) (i.e. \(a_n\neq 0\)), est appelée terme dominant de \(P\) et notée \(dom(P)\).
Le coefficient \(a_n\) est appelé coefficient dominant du polynôme \(P\).
Un polynôme \(P\) est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
La notion de degré est extrêmement importante : un bon réflexe, dans les exercices, est de commencer par considérer les degrés des polynômes qui y figurent.
Le seul problème est celui du polynôme nul.
On ne définit pas dans ce cours la notion de degré pour le polynôme nul.
Il est possible de faire la convention \(deg(0)=-\infty\) qui est compatible avec toutes les propriétés du degré relatives au produit et à la somme des polynômes, propriétés qui sont décrites dans la suite.
Cette convention permet de simplifier les énoncés mais pas nécessairement les démonstrations, et peut au contraire masquer des difficultés existantes puisqu'on ne manipule pas " l'infini " dans les calculs comme n'importe quel réel.
C'est pourquoi nous ne la ferons pas dans ce cours.