Définition

DéfinitionConvergence simple d'une suite de fonctions

On dit qu'une suite de fonctions (fn) converge simplement sur E si, pour tout x de E , la suite numérique (fn(x)) est convergente dans F.

ExempleExemple 4

(fn)nNfn:  xnsin(xn)

xD=0 fn(0)=0limn+fn(0)=0

xD0 fn(xD)=nsin(xDn)sin(xDn)    

Donc, pour tout x de \mathbb{R}, \Big( f_{n}(x) \Big) converge, la suite de fonctions (f_{n}) converge simplement sur \mathbb{R}.

Si (f_{n}) converge simplement sur I, pour tout x de I, \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) est unique ; on note ce nombre f(X) et on définit ainsi une fonction f : \begin{array}{l c l} l & \rightarrow & F \\ x & \mapsto & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~~ f_{n}(x) \end{array}

DéfinitionLimite simple d'une suite de fonctions

Lorsque la suite (f_{n}) converge simplement sur I, alors la fonction f définie, pour tout x \in I , par f(x) = \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}~~fn(x) est appelée « limite simple sur I » de la suite de fonctions (f_{n}).

On note : (f_{n}) \underset{l}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} f

Remarque

En général, on ne connaît pas d'avance la fonction f . On la construit point par point en étudiant la limite de \Big( f_{n}(X) \Big).