Définition
Définition : Convergence simple d'une suite de fonctions
On dit qu'une suite de fonctions (fn) converge simplement sur E si, pour tout x de E , la suite numérique (fn(x)) est convergente dans F.
Exemple : Exemple 4
(fn)n∈N∗fn: x↦nsin(xn)
xD=0 fn(0)=0limn→+∞fn(0)=0
xD≠0 fn(xD)=nsin(xDn)sin(xDn)
Donc, pour tout x de \mathbb{R}, \Big( f_{n}(x) \Big) converge, la suite de fonctions (f_{n}) converge simplement sur \mathbb{R}.
Si (f_{n}) converge simplement sur I, pour tout x de I, \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) est unique ; on note ce nombre f(X) et on définit ainsi une fonction f : \begin{array}{l c l} l & \rightarrow & F \\ x & \mapsto & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~~ f_{n}(x) \end{array}
Définition : Limite simple d'une suite de fonctions
Lorsque la suite (f_{n}) converge simplement sur I, alors la fonction f définie, pour tout x \in I , par f(x) = \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}~~fn(x) est appelée « limite simple sur I » de la suite de fonctions (f_{n}).
On note : (f_{n}) \underset{l}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} f
Remarque :
En général, on ne connaît pas d'avance la fonction f . On la construit point par point en étudiant la limite de \Big( f_{n}(X) \Big).