Suites de fonctions

On peut se demander si, de la même manière qu'une suite de nombres (suite numérique) peut converger (ou non) vers un nombre, une suite de fonctions peut « s'approcher » ou non d'une « fonction limite » et comment on peut définir une notion de convergence d'une suite de fonctions.

C'est la notion de convergence naturelle qui vient à l'esprit :

(\(f_{n}\)) étant une suite de fonctions de \(\mathcal{F}~\Big( E, F \Big)\) (\(E = \mathbb{R}\) ou une partie de \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\); \(F\) idem), si on fixe \(x_{0} \in \mathbb{R}\), alors \(\Big( f_{n}(x_{0}) \Big)\) est une suite numérique. On sait étudier la convergence de \(\Big( f_{n}(x_{0}) \Big)\).

Mais, les \(f_{n}\) étant des fonctions, on va, dans un premier temps, tenir compte de la « variable » \(x\) dans les calculs.