Suites de fonctions

\(fn : \begin{array}{|l l l}\mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = \frac{2nx^{2} - 1}{nx + x^{2}}\\\end{array}\)

La fonction limite \(f\) est définie par

\(f : \begin{array}{|l l l}\mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f(x) = 2x\\\end{array}\)

On constate que

Toute les \(f_{n}\) sont continues sur \(\mathbb{R}^{*}\)

\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^{*}\)

\(\underset {x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 2n\) et \(\underset {n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} 2n = +\infty\), donc \(\underset {n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( ~\underset {x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) \right) = +\infty\)

\(\underset {n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 2x\) et \(\underset {x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} 2x = +\infty\), donc \(\underset {x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( ~\underset {n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) \right) = +\infty\)

Ainsi, on a pu intervertir les limites.

où l'on se restreint à\( f _{n}\) définie sur ]- 1, 1].

\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|c l l}]-1, 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = x^{n} \\\end{array}\)

La fonction limite \(f\) est définie par

\(f : \Bigg\{ \begin{array}{l}f(x) = 0~~\textrm{si}~-1 < x < 1 \\f(1) = 1 \\\end{array}\)

Toutes les \(f_{n}\) sont continues sur ]- 1, 1]

\(f\) n'est pas continue sur ]- 1, 1]

\((f_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}} \quad f_{n} : x \mapsto n~sin{\bigg(\frac{x}{n}\bigg)}\)

La fonction limite \(f\) est définie par 

\(f : x \mapsto f(x) = x\)

Toutes les \(f_{n}\) sont continues sur \(\mathbb{R}\)

\(f : x \mapsto f(x) = x\) est continue sur \(\mathbb{R}\)

Pour tout \(n \geq 1\), \(f_{n}\) n'a pas de limite quand \(x \rightarrow + \infty\).

On ne peut donc donner un sens à l'écriture \(\underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} \Bigg( \underset{x \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) \Bigg)\).

On ne pourra donc sûrement pas intervertir les symboles \(\textrm{lim}\).

On peut remarquer que \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = x\) et que \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\Bigg(~\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}f_{n}(x)~\Bigg) == + \infty\)

On ne peut pas intervertir les limites.

\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n}  : \begin{array}{|l l l}\mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l} n^{2} x \quad \textrm{si} \quad x \geq\frac{1}{n} \\\frac{1}{x} \textrm{sinon}\\\end{array} \right.\end{array}\)

La fonction limite \(f\) est définie par

\(f : \left\{ \begin{array}{l}f(x) = \frac{1}{x}~~\textrm{si}~x \neq 0 \\ \\f(0) = 0 \\ \end{array} \right.\)

Toutes les \(f_{n}\) sont continues et bornées sur \(\mathbb{R}^{+}\)

\(f\) n'est ni continue ni bornée sur \(\mathbb{R}^{+}\)

\(n \in \mathbb{N} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & \frac{nx^{2}}{n + 1 + x^{4}} + \frac{1}{n} \\\end{array}\)

La fonction limite \(f\) est définie par

\(f : x \mapsto f(x) = x^{2}\)

Toutes les \(f_{n}\) sont continues et bornées sur \(\mathbb{R}\)

\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\)

\(\underset{x \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = \frac{1}{n}\) et \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{1}{n} = 0\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\Bigg(~\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x)~\Bigg) = 0\)

\(\underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = x^{2}\) et \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} x^{2} = +\infty\), donc \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\Bigg(~\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x)~\Bigg) = +\infty\)

Problème d'interversion des limites

\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l l} -1 & \textrm{si}~~x < -\frac{1}{n} \\ \\ sin{~(~n~\frac{\pi}{2}~x~)} & \textrm{si}~~|x| \leq \frac{1}{n} \\ \\ 1 & \textrm{si}~~x > \frac{1}{n} \\ \end{array}\right. \end{array}\)

La fonction limite \(f\) est définie par

\(f : \left\{ \begin{array}{l l} x < 0 & f(x) = -1 \\x = 0 & f(0) = 0 \\x > 0 & f(x) = 1\\ \end{array}\right.\)

Toutes les \(f_{n}\) sont continues sur \(\mathbb{R}\)

\(f\) n'est pas continue sur \(\mathbb{R}\)

\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|c l l}[0, 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l l l} n^{2}x & \textrm{si} & x \in \Bigg[0 , \frac{1}{n} \Bigg[ \\ 2n - n^{2}x & \textrm{si} & x \in \Bigg[\frac{1}{n}, \frac{2}{n} \Bigg] \\ 0 & \textrm{si} & x \in \Bigg]\frac{2}{n},1\Bigg] \\ \end{array} \right. \end{array}\)

La fonction limite \(f\) est la fonction constante nulle (\(\overset{\sim}{0}\)).

\(f_{n}\) continue sur [0, 1] et \(\overset{1}{\underset{0}{\int}}~f_{n}(x)~dx = \frac{1}{2}~(n . \frac{2}{n}) = 1\) (aire du triangle)

\(f\) est continue sur [0, 1] et \(\overset{1}{\underset{0}{\int}}~f(x)~dx = 0\)

Problème d'interversion de \(\textrm{lim}\) et de \(\int\)