Suites de fonctions

$f_{n} : \begin{array} {|lll} \mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f_{n}(x) = \frac{2nx^{2} - 1}{nx + x^{2}} \end{array}$

La fonction limite $f$ est définie par

$f:\begin{array}{|lll} \mathbb{R}^{*}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f(x) = 2x \\\end{array}$

$\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 2x \quad f : \left\{ \begin{array}{l l l} \mathbb{R}_{+}^{*} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & f(x) = 2x \end{array} \right.$

$(f_{n}) \overset{\textrm{CVS}}{\underset{\mathbb{R}_{+}^{*}}{\rightarrow}} ( x \mapsto 2x )$

$(f_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}} \qquad f_{n} : x \mapsto n~sin{~\Bigg(~\frac{x}{n}~\Bigg)}$

La fonction limite $f$ est définie par

$f : x \mapsto f(x) = x$

$\left\{ x \neq 0 \begin{array}{l} \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = x \\ \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0 \end{array} \right.$

$(f_{n}) \underset{\mathbb{R}}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} (x \mapsto x)$

$n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|c l l}]-1, 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & f_{n}(x) = x^{n} \\\end{array}$

La fonction limite $f$ est définie par

$f : \left\{ \begin{array}{l l} f(x) = 0 & \textrm{si}~~-1 < x < 1 \\ f(1) = 1 & \\\end{array} \right.$

$|x| < 1 \qquad \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}{x^{n}} = 0$

$x = 1 \qquad \underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}{1^{n}} = 1$

$|x| > 1 \qquad (x^{n})$ diverge

$x = -1 \qquad (x^{n})$ diverge

Donc, ($f_{n}$) ne converge pas simplement sur $\mathbb{R}$.

En revanche, ($f_{n}$) converge simplement sur ] -1 ; 1] vers la fonction f définie par $f : \Bigg\{ \begin{array}{l l} f(x) = 0 & si~x~\neq~1 \\ f(1) = 1 \end{array}$

La suite ($f_{n}$) converge simplement sur ]-1 ; 1] vers la fonction nulle. On voit donc l'importance de l'intervalle ou du domaine sur lequel on étudie la convergence simple.

$n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} \mathbb{R}_{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l} n^{2}x~~si~~x \leq \frac{1}{n} \\ sinon~~\frac{1}{x} \end{array} \right. \end{array}$

• $x_{0} \neq 0$

  $\underset{n \rightarrow +\infty}{lim} f_{n}(x_{D}) = \frac{1}{x_{D}}$ car, lorsque $n \rightarrow +\infty$, pour $x_{0}$ fixé, il existe $n_{0}$ dans $\mathbb{N}$ tel que $x_{0} > \frac{1}{n_{0}}$ car la suite $\Bigg( \frac{1}{n} \Bigg)$ tend vers 0 ; alors, pour tout $n \geq n_{0}$, on a $x_{0} > \frac{1}{n}$ donc $f_{n}(x_{0}) = \frac{1}{x_{D}}$.

  La suite $\Big( f_{n}(x_{0}) \Big)$ est donc stationnaire à partir de $n_{0}$.

• $x_{0} = 0$

  Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$,$f_{n}(0) = 0$, donc $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0$

  $(f_{n}) \underset{\mathbb{R}_{+}}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} f : \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{x} \quad si~x \neq 0 \\ \\ f(0) = 0 \end{array} \right.$

$n \in \mathbb{N} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \frac{nx^{2}}{n + 1 + x^{4}} + \frac{1}{n} \end{array}$

$\forall x \in \mathbb{R}, \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \Bigg( \frac{nx^{2}}{n + 1 + x^{4}} + \frac{1}{n} \Bigg) = x^{2} ; \big( f_{n} \big) \underset{\mathbb{R}}{\overset{\textrm{CVS}}{\rightarrow}} ( x \mapsto x^{2} )$

$n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l l} -1 & si~~~x < -\frac{1}{n} \\ \\ \sin{\big( n \frac{\pi}{2} x \big)} & si~~|x| \leq \frac{1}{n} \\ \\ 1 & si~~~x > \frac{1}{n} \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l l} x < 0 & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = -1 \\ x = 0 & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0 \\ x > 0 & \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 1 \end{array}$

$n \in \mathbb{N}^{*} - {1} \qquad f_{n} : \begin{array}{|l l l} [0 ; 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \\ x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{l l} n^{2}x & si~~x \in \big[0 ; \frac{1}{n} \big[ \\ \\ 2n - n^{2}x & si~~x \in \big[ \frac{1}{n} ; \frac{2}{n} \big[ \\ \\ 0 & si~~x \in \big] \frac{2}{n} ; 1 \big] \end{array} \right. \end{array}$

• $x_{0} = 0$

  $f_{n}(0) = 0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ ;

• $x_{0} \in ]0 ; 1]$

  il existe $n_{0}$ dans $\mathbb{N}^{*}$ tel que $\frac{2}{n} < x_{0}$ car la suite $\Bigg(\frac{2}{n}\Bigg)$ tend vers 0. Alors, pour tout $n \geq n_{0}$, $\frac{2}{n} < x_{0}$. Donc, $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x_{D}) = 0$.

$(f_{n})~\overset{\textrm{CVS}}{\underset{[0 ; 1]}{\rightarrow}}~\overset{\sim}{0}$