Convergence uniforme
Définition
Définition : Convergence uniforme
Soit (\(f_{n}\)) une suite de fonctions qui converge simplement sur \(I\) vers \(f\). On dit que (\(f_{n}\)) converge uniformément sur \(I\) vers \(f\) et on note \((f_{n}) \overset{\textrm{CVU}}{\underset{I}{\rightarrow}} f\) lorsque :
\(m_{n} = \underset{I}{\textrm{sup}} \left(~\left| f_{n}(x) - f(x) \right|~\right)\) existe ;
\(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} m_{n} = 0\).
Donc la suite (\(f_{n}\)) de l'exemple 9 converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction \(f : x \mapsto x\).
En revanche, la suite de l'exemple 4 ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction \(f : x \mapsto x\).
Autre écriture
\((f_{n}) \overset{\textrm{CVU}}{\underset{I}{\longrightarrow}} f \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0,~~\exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \left( n \geq N_{\varepsilon} \Rightarrow \underset{I}{\textrm{sup}} \left(\left| f_{n}(x) - f(x)\right|\right) < \varepsilon \right)\)
\((f_{n}) \overset{\textrm{CVU}}{\underset{I}{\longrightarrow}} f \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0,~~\exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}~~(n \geq N_{\varepsilon} \Rightarrow \forall x \in I ~~|f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon)\)
\(N_{\varepsilon}\) ne dépend pas de \(x\).