Interprétation en termes de normes
Définition : Norme infinie
Si \(f\) est une fonction de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), on note \(||f||_{\infty}\) le réel positif \(||f||_{\infty} = \underset{I}{\textrm{sup}} \left( |f(x)|\right)\)
Théorème : Propriété
L'application \(\begin{array}{|c l l} F(I, \mathbb{R}) & \rightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ f & \mapsto & ||f||_{\infty} \end{array}\) est une norme sur l'espace vectoriel des fonctions définies sur I.
Définition : Norme de la convergence uniforme
On appelle la norme ainsi définie la « norme infinie » ou « norme de la convergence uniforme ».
Théorème : Théorème : Norme infinie et convergence uniforme
La suite de fonctions (\(f_{n}\)) converge uniformément sur \(I\) vers \(f\) si et seulement si \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} ||f_{n} - f|| = 0\).
Autrement dit : \(\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N_{\varepsilon} \quad (~n \geq N_{\varepsilon} \Rightarrow ||f_{n} - f||_{\infty} < \varepsilon)\)