Remarque importante : un moyen de montrer la non-convergence uniforme
La formule (2) nous donne un moyen de prouver la non-convergence uniforme d'une suite de fonctions : en effet, il nous suffit de montrer que \(m_{n}\) n'admet pas de limite ou admet une limite non nulle lorsque \(n\) tend vers +\(\infty\), ce qui se traduit par:
\(\exists~\varepsilon > 0,~\forall N \in \mathbb{N} \quad (\exists n \geq N\) et \(\exists~x_{n} \in I \quad |f_{n}(x_{n}) - f(x_{n})| \geq \varepsilon)\)
On en déduit :
Théorème : Un moyen de montrer la non-convergence uniforme
Pour montrer que (\(f_{n}\)) ne converge pas uniformément sur \(I\) vers \(f\) , il suffit de trouver une suite (\(x_{n}\)) de points de \(I\) telle que la suite \(\left( f_{n}(x_{n})- f (x_{n}) \right)\) ne tende pas vers 0 lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Remarque :
Le cas où \(\left( f_{n}(x_{n}) - f(x_{n}) \right)\) n'a pas de limite rentre dans ce cadre.