Exercice 13
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par : \(f_n(x ) = x^n\) pour x \(\in\) [0, 1[, \(f_n(x) =0\) sinon.
Aide simple
La suite de fonctions converge simplement vers \(\tilde{0}\) .
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \bigg \{ |f_n(x )- f (x )| \bigg \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\). Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On a : \(\underset{x \in \mathbb{R}}{sup} \bigg \{ |f_n(x )- 0| \bigg \} = 1\)donc :
(\(f_n\)) ne converge pas uniformément vers \(\tilde{0}\) sur \(\mathbb{R}\) .