Exercice 16
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R^+}\) par :
\(f_n(x) = \frac{nx^2}{1 + nx}\)
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction x \(\longmapsto\) x .
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \} \) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- x | \Big \} \) .
\( |f_n(x) - x| =\left| \frac{nx^2}{1 + nx} - x \right| = \left| \frac{nx^2 - x - nx^2}{1+ nx}\right| =\frac{x}{1 + nx}\)
Or, la fonction \(g_n : x \longmapsto \frac{x}{1 + nx}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R^+}\) ; en effet, sa dérivée est la fonction x \(\longmapsto \frac{1}{(1 + nx)^2}\)>0 . De plus, \(g_n(0) = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }} g_n(x) = \frac{1}{n}\). x-->+o o n
Donc, \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- x | \Big \}= \frac{1}{n} \) .
Comme cette borne supérieure tend vers 0 lorsque n tend vers \(+\infty\) , on en déduit, par définition, que la suite (\(f_n\)) converge uniformément sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction x \(\longmapsto\) x .
La suite (\(f_n\)) converge uniformément sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction x \(\longmapsto\) x .