Exercice 20
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par \(f_n(x ) = arctan(x - n)\) .
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction constante x \(\longmapsto -\frac{\pi}{2}\)
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\). Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R}}{sup} \Big \{ |f_n(x ) + \frac{\pi}{2} | \Big \}\)
Pour tout n de \(\mathbb{N}\) et tout x de \(\mathbb{R}\), -\( \frac{\pi}{2} < arctan(x - n) < \frac{\pi}{2}\) donc \(|f_n(x) + \frac{\pi}{2}| = f_n(x ) + \frac{\pi}{2} = arctan(x - n) + \frac{\pi}{2} < \pi\) .
Pour tout n de \(\mathbb{N}\) , \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }} arctan(x- n)= \frac{\pi}{2}\) donc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }} arctan(x- n) +\frac{\pi}{2} = \pi\) donc \(\underset{x \in \mathbb{R}}{sup} \Big \{ |f_n(x ) + \frac{\pi}{2} | \Big \}= \pi\) ce qui prouve que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction constante x \(\longmapsto -\frac{\pi}{2}\) n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\) .
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction constante x \(\longmapsto -\frac{\pi}{2}\) n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\) .