Exercice 22
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies pour n \(\geqslant\) 1 par ( 1 ) \(f_n(x) = x^2sin \left( \frac{1}{nx} \right)\)
(on prolongera d'abord les \(f_n\) par continuité en 0).
Aide simple
On prolonge chaque \(f_n\) par continuité en 0 en posant\( f_n(0) = 0\).
La suite ( \(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers \(\tilde{0}\) .
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}\)
Pour tout n \(\geqslant\) 1, \(|f_n(x)- 0|= |f_n(x)|= |x^2 .sin \left( \frac{1}{nx} \right)| \).
Quand x tend vers \(+\infty\) , \(\frac{1}{nx}\) tend vers 0, donc\( sin \left( \frac{1}{nx} \right) \begin{array}{c} \sim \\ +\infty \end{array} \frac{1}{nx}\)
On en déduit que, pour n fixé,\(f_n(x) \begin{array}{c} \sim \\ +\infty \end{array} \frac{x}{n}\) donc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }} f_n(x)= +\infty\).
Ceci prouve que \(\underset{x \in \mathbb{R}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}= +\infty\) n donc que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers 0 n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\) .
La convergence de la suite ( \(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\) .