Exercice 14
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par : \(f_n(x) = \frac{1}{n^x}\) pour n \(\geqslant\) 1 et x \(\geqslant\) 0.
Aide simple
Penser à distinguer le cas x = 0.
En notant f la fonction définie sur \(\mathbb{R^+}\) par : \(\left \{ \begin{array}{cc}x=0 & f(x)=1 \\ x>0 & f(x)=0 \end{array} \right.\) alors \(\begin{array}{ccc}&cs&\\(f_n)&\rightarrow& \ f \\&\mathbb{R_+}&\end{array}\) .
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \bigg \{ |f_n(x )- f (x )| \bigg \}\)tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\). Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
\(f_n(0) - f(0) = 0\) et \(f_n(x) - f(x) = f_n(x)\) (pour x > 0) ; donc, pour tout x > 0, 0 < \(f_n(x) - f (x)\) < 1 et \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 \textrm{ } x>0} ( f_n(x) - f(x))= 1\) , donc \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f | \Big \} =1\) , ce qui prouve que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers f sur \(\mathbb{R^+}\) n'est pas uniforme.
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers f sur \(\mathbb{R^+}\) n'est pas uniforme.