Exercice 23
Partie
Question
Soit la suite (\(f_n\)) de fonctions définies sur \(\mathbb{R^+}\) par f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^n}
Étudier la convergence uniforme de (\(f_n\)) sur \(\mathbb{R^+}\).
Aide simple
Penser à distinguer 0 \(\leqslant\) x < 1, x = 1, 1 < x.
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction f définie par \(\left \{ \begin{array}{cc} 0 \leqslant x < 1& f(x)=0 \\ x=1 & f(x)= \frac{1}{2} \\ 1 <x& f(x)=1 \end{array} \right.\)
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) .
Posons, pour n \(\geqslant\) 1, \(\phi_n(x) = f_n(x) - f (x)\).
0 \(\leqslant\) x < 1 :
\(\phi_n(x) = f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^n} = 1 - \frac{1}{1 + x^n}\)
\(\phi_n(x)\) est strictement croissante sur [0, 1[ puisque la fonction x \(\rightarrow 1 + x^n\) est strictement croissante sur cet intervalle.
\(\phi_n(0) = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 \textrm{ }x<1} \phi_n(x) = \frac{1}{2}\) .
x = 1 :
\(\phi_n(x)= 0\).
1 < x :
\(\phi_n(x) = f_n(x) - 1 =\frac{x^n}{1 + x^n} - 1= - \frac{1}{1 + x^n}\)
\(\phi_n\) est strictement décroissante sur ]1, \(+\infty\) [ puisque la fonction x \(\rightarrow 1 + x^n\) n est strictement croissante sur cet intervalle.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 \textrm{ }x>1} \phi_n(x) = -\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \phi_n(x) = 0\) .
Tout ceci montre que \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |\phi_n(x )| \Big \} = \frac{1}{2}\) .donc que \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}= \frac{1}{2}\) .La suite (\(f_n\)) ne converge donc pas uniformément vers f sur\( \mathbb{R_+}\).
La suite (\(f_n\)) ne converge pas uniformément vers f sur\( \mathbb{R_+}\).