Exercice 36
Partie
Question
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions suivante : n \(\geqslant\) 1, \( \left \{ \begin{array}{ccc} f_n(x)=0 & si & x < 0\\ f_n(x) = nx & si& x \in \bigg[0 , \frac{1}{n} \bigg] \\ f_n(x) = 1 & si & x\geqslant \frac{1}{n} \end{array} \right.\)
Aide simple
Pour x > 0 fixé, on peut toujours trouver \( n_x \in \mathbb{N^*}\) tel que \(x > \frac{1}{n_x}\) par exemple \(n_x = E \left ( \frac{1}{x} \right) + 1\)
Pour x > 0, pour n\(\geqslant n_x\),\( f_n(x) = 1\). La suite \(( f_n(x) )_{n \geqslant 1}\) sera égale à 1 à partir d'un certain rang.
La convergence simple ne pose pas de problèmes.
Étudier la convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\), puis distinguer les sous-ensembles contenant 0 ou pas.
Solution détaillée
Convergence simple
1.Si x \(\leqslant\) 0, f n(x) = 0 donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } f_n(0) = 0\).
2.Si x > 0, pour n \(\geqslant E \left ( \frac{1}{x} \right) + 1\),\( f_n(x) = 1\) : \(\forall x \in \mathbb{R_+^*}, \forall \varepsilon > 0, \exists \textrm{ }N_{(\varepsilon, X)}, (n \geqslant N \Rightarrow | f_n(x) - 1 |< \varepsilon )\)
La suite (\(f_n\)) converge simplement vers la fonction ainsi définie : \( \left \{ \begin{array}{cc} f(x)=0, & x \leqslant 0\\ f(x) = 1, & x >0 \end{array} \right.\)
Convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\)
Si la suite (\(f_n\)) convergeait uniformément sur \(\mathbb{R}\), ce serait vers la fonction f décrite ci-dessus. Or toutes les fonctions \(f_n\) sont continues et la limite simple de la suite (\(f_n\)) ne l'est pas.
La suite (\(f_n\))ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}\).
Convergence uniforme sur des sous-ensembles de \(\mathbb{R}\)
Soit D une partie non vide de \(\mathbb{R}\) telle que 0 soit un point intérieur à D (par exemple [a, b] avec a < 0 et b > 0) : \(sup_{x \in D} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \} = 1\)
En effet, pour n tel que \(\frac{1}{n} < b\) et pour x tel que \(0 < x < \frac{1}{n}\) on a\( |f_n(x )- f(x) | = 1 - nx\) qui tend vers 1 lorsque x tend vers 0.
La suite (\(f_n\)) ne converge pas uniformément sur toute partie de \(\mathbb{R}\) contenant 0 dans son intérieur.
Soit I un intervalle du type [0 , b] ou [ 0 , \(+\infty\) [avec 0 < b :
Le raisonnement est le même que ci-dessus.
La suite (\(f_n\)) ne converge pas uniformément sur tout intervalle [ 0 , \(+\infty\) [ ou [0 , b] avec 0 < b.
Soit I un intervalle du type ] \(-\infty\) , b] ou [a, b] avec a < b \(\leqslant\) 0 :
Pour tout x \(\in\) I, pour tout \(n \in \mathbb{N^*}\),\( f_n(x) = 0\).
La suite (\(f_n\)) converge simplement vers la fonction nulle et \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \bigg( max_{x \in l}\Big \{ |f_n(x )- 0| \Big \} \bigg)= 0\).
La suite (\(f_n\)) converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle ] \(-\infty\) , b] ou [a, b] avec a < b \(\leqslant\) 0.
Soit J un intervalle du type \([a, b]\) ou \([a, +\infty[\) avec \(b > a > 0\) :
Posons \(n_{a} = E \left( \frac{1}{a} \right) + 1\). Alors, \(n_{a} \in \mathbb{N}^{*}\) et \(\frac{1}{n_{a}} < a\).
Pour \(n \geq n_{a}\) et pour \(x \in J, f_{n}(x) = 1\).
La suite (\(f_{n}\)) converge simplement vers la fonction constante égale à 1 et, pour \(n \geq n_{a}\), \(\underset{x \in J}{\textrm{max}} \Big\{ \left| f_{n}(x) - 1\right| \Big\}\), d'où \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( \underset{x \in J}{\textrm{max}} \Big\{ \left| f_{n}(x) - 1 \right| \Big\}\right) =0\).
La suite (\(f_{n}\)) converge uniformément sur tout intervalle \([a, b]\) ou \([a, +\infty[\) avec \(b > a > 0\) vers la fonction constante égale à 1.