Suites de fonctions

Traduisons le fait que \(f_{n}\) converge uniformément vers \(f\) sur \(]0, 1[\) et que \(\left\{ \begin{array}{l c l} \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) & = & f(0) \\ \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(1) & = & f(1) \end{array} \right.\)

Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif arbitrairement fixé.

Convergence uniforme sur \(]0, 1[\)

Pour cet \(\varepsilon\), il existe \(n_{1}\) tel que, pour tout \(n \geq n_{1}\) et tout \(x\) de \(]0, 1[\), on a : \(\left| f_{n}(x) - f(x)\right| < \varepsilon\).

Convergence simple en 0

Pour cet \(\varepsilon\), il existe \(n_{2}\) tel que, pour tout \(n \geq n_{2}\), on a : \(\left| f_{n}(0) - f(0) \right| < \varepsilon\).

Convergence simple en 1

Pour cet \(\varepsilon\), il existe \(n_{3}\) tel que, pour tout \(n \geq n_{3}\), on a : \(\left| f_{n}(1) - f(1) \right| < \varepsilon\).

Posons alors \(n_{0} = \textrm{max} \{n_{1} ; n_{2} ; n_{3}\}\) ; on obtient alors, pour tout \(n \geq n_{0}\) et tout \(x \in ]0, 1[\) :

\(\left\{ \begin{array}{l} \left| f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon \\ \left| f_{n}(0) - f(0) \right| < \varepsilon \\ \left| f_{n}(1) - f(1) \right| < \varepsilon \end{array} \right.\)

ce qui équivaut à dire : \(\forall n \geq n_{0}, \forall x \in [0, 1],\quad \left| f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon\).

Autrement dit, nous venons de montrer que : \(\forall \varepsilon > 0,\quad \exists n_{0} \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq n_{0},\quad \forall x \in [0, 1],~~\left| f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon\) ;

c'est-à-dire que nous avons démontré que la suite (\(f_{n}\)) converge uniformément sur \([0, 1]\) vers \(f\).

\(f_{n} \overset{\textrm{CVU}}{\underset{[0, 1]}{\longrightarrow}} f\)