Suites de fonctions

Sur [a, \(+\infty\)[ (a > 0)

• Convergence simple

  Soit \(x\) un réel fixé supérieur à \(a\) ; pour tout \(n\), \(f_{n}(x) = \frac{2}{x} . \frac{nx^{2}}{2} e^{\left(-\frac{nx^{2}}{2}\right)}\) et \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{nx^{2}}{2} = +\infty\).

  Or, on sait (limite classique) que \(\underset{u \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} ue^{-u} = 0\).

  On en déduit donc que \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = 0\), ce qui signifie que :

  La suite (\(f_{n}\)) converge simplement vers \(\overset{\sim}{0}\) sur \([a, +\infty[\).

• Convergence uniforme

  Pour \(n\) fixé, étudions la fonction \(f_{n}\). Cette fonction est continue et dérivable sur \([a, +\infty[\) et \(f'_{n}(x) = ne^{\left(-\frac{nx^{2}}{2} \right)}~.~(1 - nx^{2})\).

  Lorsque \(n\) sera choisi assez grand (supérieur à \(\frac{1}{a^{2}}\)) alors, pour tout \(x \geq a\), \(f'_{n}(x) \leq 0\) et donc \(f_{n}\) est décroissante sur \([a, +\infty[\).

  D'autre part, il est immédiat de voir que \(f_n\). est positive sur [a, \(+\infty\)[ ; donc, pour tout n \(\geqslant \frac{1}{a^2}\) et pour tout x de\( [a, +\infty[\), on a :

  \(|f_n(x) - 0| = f_n(x) \leqslant f_n(a) = n \times a \times e^{-\frac{na^2}{2}}\)  

  Il vient donc : pour tout n \(\geqslant \frac{1}{a^2}\) ,\( \underset{x \in [a, +\infty[}{sup} \bigg \{ | f_n(x) - 0| \bigg \} = n \times a \times e^{-\frac{na^2}{2}}\)

  Or, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  n a e^{-\frac{na^2}{2}} = 0\) (même démonstration que celle faite pour la convergence simple), donc la convergence de la suite ( \(f_n\).) sur [a, \(+\infty\)[ est uniforme.

  La suite ( \(f_n\)) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [a, \(+\infty\)[ .

  Sur ]\(-\infty\) , b] (b < 0 ).

  Pour tout n, la fonction \(f_{n}\) est impaire ; on peut donc en déduire immédiatement un résultat analogue au précédent sur ]\(-\infty\) , b] (avec b < 0) :

  La suite ( \(f_n\)) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur ]\(-\infty\) , b] .

  Sur [b,a] .

  • Convergence simple.

    Pour tout n,\( f_n(0) = 0\), donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  f_n(0) = 0\) ; d'autre part, dès que x \(\neq\) 0, le même raisonnement que celui fait sur [a, \(+\infty\)[ montre que \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  f_n(x) = 0\) .

    La suite ( \(f_n\)) converge simplement vers \(\tilde{0}\) sur [b, a] .

  • Convergence uniforme.

  Cherchons ,\( \underset{x \in [b, a[}{sup} \bigg \{ | f_n(x) - 0| \bigg \} =\underset{x \in [a, +\infty[}{sup} \bigg \{ | f_n(x) | \bigg \}\)

  Pour ceci, pour n fixé, étudions la fonction \(f_n\). Cette fonction est continue et dérivable sur [b, a] et\( f_n'(x) = n e^{-\frac{nx^2}{2}} (1 - nx^2).\)

  Pour n assez grand, \(-\frac{1}{\sqrt{n}} \in\) [b , a] et \(\frac{1}{\sqrt{n}} \in\) [b , a]. Le tableau de variations de \(f_n\) est alors :

Cela montre que, pour n assez grand, \(\underset{x \in [b , a]}{sup} \bigg \{ | f_n(x) | \bigg \} = \sqrt{\frac{n}{e}}\) e et cette borne supérieure tend vers \(+\infty\) lorsque n tend vers \(+\infty\) . Ceci montre que la convergence de la suite ( \(f_n\).) vers \(\tilde{0}\) n'est pas uniforme sur [b, a].

La suite ( \(f_n\)) converge simplement mais pas uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [b, a] .

Calculons maintenant \(\displaystyle \int_b^a \left( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  f_n \right) (t) \textrm{ } dt\)

A t\( \in\) [b,a],\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  f_n(t) = 0\). D 'où : \(\displaystyle \int_b^a \left( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  f_n \right) (t) \textrm{ } dt =\displaystyle \int_b^a 0 \textrm{ } dt = 0.\)

Calculons maintenant \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \left( \displaystyle \int_b^a f_n(t) \textrm{ } dt \right)\) .

\(\displaystyle \int_b^a f_n(t) \textrm{ } dt = \displaystyle \int_b^a n t e^{-\frac{nt^2}{2}}\textrm{ } dt = \bigg [ - e^{-\frac{nt^2}{2}} \bigg ]_b^a = e^{-\frac{nb^2}{2}} - e^{-\frac{na^2}{2}}.\)

D'où : \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \left( \displaystyle \int_b^a f_n(t) \textrm{ } dt \right) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \left( \displaystyle  e^{-\frac{nb^2}{2}} - e^{-\frac{na^2}{2}}\right) = 0\).

On obtient donc :

\(\displaystyle \int_b^a \bigg ( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } f_n \bigg ) (t) \textrm{ } dt = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \left( \displaystyle \int_b^a f_n(t) \textrm{ } dt \right)\)

alors que la convergence de la suite ( \(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) sur [b, a] n'est pas uniforme.

On a donc pu intervertir les signes de limite et d'intégration alors que la convergence n'est pas uniforme. Ceci prouve bien que :

La convergence uniforme est une condition suffisante d'interversion des signes de limite et d'intégration, mais cette condition n'est pas nécessaire.