Exercice 43
Partie
Question
Soit la suite de fonctions (\(f_n\)) définies (pour n \(\geqslant\) 1) sur [0, a] par :
\(f_n(x) = \bigg( 1+ \frac{1}{n} \bigg). x^2 + (- 1)^n\) sur [0,a]
Les hypothèses du théorème de dérivation d'une suite de fonctions sont-elles vérifiées pour cette suite ?
Les conclusions de ce théorème sont-elles vérifiées pour cette suite ?
Que peut-on en conclure ?
Aide simple
Montrer que la suite (\(f_n'\)) est uniformément convergente sur [0, a] vers une fonction à déterminer.
Montrer que ceci ne suffit pas à assurer la dérivabilité de la limite de la suite de fonctions (\(f_n\)) puisque cette limite n'existe pas (le montrer également).
Solution détaillée
Pour tout n de \(\mathbb{N^*}\), \(f_n\) est continue et dérivable sur [0, a].
Pour tout x de [0, a], \(f_n'(x ) = 2 \bigg ( 1 + \frac{1}{n} \bigg ).x\).
La suite (\(f_n'\)) converge simplement sur [0, a] vers la fonction \(\phi : x \rightarrow 2x\) . En effet, pour x fixé dans [0, a], \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \displaystyle f_n'(x) = 2x. \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 2x\)
La convergence de la suite (\(f_n'\)) vers \(\phi\) est uniforme sur [0, a] puisque\( | f_n '(x) - \phi(x )| = | \frac{2x}{n} | \leqslant \frac{2a}{n}\) et \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \displaystyle \frac{2a}{n} = 0\).
La suite de fonctions (\(f_n'\)) converge uniformément sur [0, a] vers la fonction \(\phi : x \rightarrow 2x\) .
Mais, pour tout x de [0, a], la suite ( \(f_n(x)\) )n'est pas convergente, puisque, d'une part, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right). x^2\) et, d'autre part, ( \((-1)^n\) )n'est pas convergente.
L'hypothèse qui manque pour que l'on puisse appliquer le théorème de dérivation d'une suite de fonctions est donc l'existence d'un \(x_0\) dans [0, a] tel que la suite ( \(f_n(x_0)\) )soit convergente.