Exercice 39
Partie
Question
Étudier la convergence simple puis la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur \(\mathbb{R}\)^{+} par :
\(n \geq 1 \quad ; \quad f_{n}(0) = 0 \quad ; \quad \textrm{si}~~x \neq 0, f_{n}(x) = \frac{e^{\left(-\frac{1}{nx}\right)}}{nx + 2}\)
Aide simple
Pour la convergence simple, pas de problème.
Pour la convergence uniforme, penser à utiliser la suite \(\left( f_{n} \left( \frac{1}{n} \right)\right)\).
Solution détaillée
On peut remarquer que cette fonction est continue en 0.
Convergence simple
Montrons que la suite de fonctions converge vers la fonction nulle :
pour tout \(n \geq 1\), \(f_{n}(0) = 0\) donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(0) = 0\) ;
pour \(x > 0\) fixé : \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( \frac{e^{\left( -\frac{1}{nx} \right)}}{nx + 2} \right) = 0\)
La suite (\(f_{n}\)) converge simplement vers la fonction nulle.
Convergence uniforme sur \(\mathbb{R}^{+}\)
La suite \(\left( f_{n} \left( \frac{1}{n} \right)\right)\) est constante et vaut \(\frac{1}{3e}\).
Le maximum sur \(\mathbb{R}^{+}\) étant supérieur ou égal à cette valeur ne peut donc tendre vers 0.
La suite (\(f_{n}\)) ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R_{+}}\) vers la fonction nulle.
Remarque : on aurait pu prendre également \(f_{n} \left( \frac{2}{n} \right)\) car c'est en \(\frac{2}{n}\) que \(f_{n}\) atteint son maximum (pour tout \(n \geq 1\)), et la valeur de ce maximum est la même pour tout \(n \geq 1\) et égale à \(\frac{1}{4}e^{\left(-\frac{1}{2} \right)}\).
Convergence uniforme sur certains sous-ensembles de \(\mathbb{R}_{+}\)
\(f'_{n}(x) = e^{\left( -\frac{1}{nx} \right)}~.~\frac{-n^{2}x^{2} + nx + 2}{nx^{2} (nx + 2)^{2}} = -n^{2}e^{\left( -\frac{1}{nx}\right)}~.~\frac{\left( x + \frac{1}{n}\right) \left( x - \frac{2}{n} \right)}{nx^{2} (nx +2)^{2}}\)
Les variations de \(f_{n}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\) sont représentées sur le tableau suivant :
Le maximum est atteint par \(f_{n}\) au point d'abscisse \(\frac{2}{n}\).
Sur un intervalle I du type \([0, b]\), \(0 < b \leq 2\), le maximum de \(f_{n}\) est constant égal à \(\frac{1}{4}e^{\left( -\frac{1}{2} \right)}\).
La suite (\(f_{n}\)) ne converge pas uniformément sur tout intervalle \([0,b]\) avec \(0 < b \leq 2\).
Sur des intervalles J du type \([a, b]\) ou \([a, +\infty[\) avec \(b > a > 0\).
Lorsque \(n > \frac{2}{a}\), alors \(\frac{2}{n} < a\) et \(f_{n}\) est décroissante et positive sur J. Donc, \(\underset{x \in J}{\textrm{max}} \left\{ \left| f_{n}(x) - 0 \right| \right\} = f_{n}(a) = \frac{e^{\left( -\frac{1}{na}\right)}}{na + 2}\).
Donc, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~~\underset{x \in J}{\textrm{max}} \left\{ \left| f_{n}(x) - 0 \right| \right\} = 0\).
La suite (\(f_{n}\)) converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle \([a, b]\) ou \([a,+\infty[\) avec \(b > a > 0\).