Calcul de l'intensité en un point
La vibration émise par \(M\) dans la direction \(\vec u\) et la vibration émise par \(O\), centre de la fente source arrivent en \(P\) en présentant une différence de marche \(\delta\).
\(\delta = \overrightarrow{OM} ~.~ \vec u = (x . \vec e_x ~+~ y . \vec e_y) ~.~ (u_x . \vec e_x ~+~ u_y . \vec e_y ~+~ u_z . \vec e_z)\)
\(u_x\) , \(u_y\) et \(u_z\) sont les composantes de \(\vec u\) suivant les trois axes \(Ox\), \(Oy\) et \(Oz\) de vecteurs unitaires \(\vec e_x\) , \(\vec e_y\) , \(\vec e_z\) .
D'où
\(\delta ~ = ~ x ~.~ u_x + y ~.~ u_y ~ = ~ x . \cos \theta_x ~ + ~ y . \cos \theta_y\)
\(\theta_x\) et \(\theta_y\) sont les angles \((\vec e_x ~,~ \vec u)\) et \((\vec e_y ~,~ \vec u)\)
Pour alléger les calculs on pose :
\(\alpha = \cos \theta_x\) ; \(\alpha \le 1\)
\(\beta = \cos \theta_y\) ; \(\beta \le 1\)
D'où \(\delta = \alpha . x + \beta . y\)
Pour un petit élément de surface \(( \mathrm d x , \mathrm d y )\) centré sur \(M\), l'amplitude \(A(M)\) de la vibration diffractée dans la direction \(\vec u\) s'écrit en notation complexe :
\(\mathrm d A_{(M)} = A_0 ~.~ \mathrm d x ~.~ \mathrm d y ~.~ \mathrm e ^{j \frac{2 \pi \delta}{\lambda}}\)
où :
\(A_0\) est l'amplitude de la vibration émise en \(M\)
\(\mathrm d x . \mathrm d y\) est la surface élémentaire rectangulaire prise autour de \(M\)
\(\delta\) est la différence de marche entre la vibration émise par \(M\) dans la direction \(\vec u\) et celle émise par le centre de la fente \(O\) dans la même direction.
On rappelle ici qu'une source ponctuelle secondaire émet dans toutes les directions avec la même amplitude.
La contribution des éléments de la fente donne une radiation résultante en \(P\) d'amplitude :
\(\displaystyle{A = \iint_S \mathrm d A_{(M)} = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} A_0 ~.~ \mathrm e ^{j \frac{2 \pi (\alpha . x + \beta . y)}{\lambda}} ~ \mathrm d x ~ \mathrm d y}\)
\(\displaystyle{A = A_0 \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \left( \begin{array}{lc} \displaystyle{\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} e ^{j \frac{2 \pi}{\lambda} \beta y} \mathrm d y} \end{array} \right) e ^{j \frac{2 \pi}{\lambda} \alpha x}\mathrm d x}\)
\(A = A_0 \left[ \begin{array}{lc} \frac{e ^{j \frac{2 \pi}{\lambda} \beta y} \mathrm d y}{j \frac{2 \pi \beta}{\lambda}} \end{array} \right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} ~ \left[ \begin{array}{lc} \frac{e ^{j \frac{2 \pi}{\lambda} \alpha x} \mathrm d x}{j \frac{2 \pi \alpha}{\lambda}} \end{array} \right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\)
\(A = A_0 \frac{\sin \frac{\pi \beta b}{\lambda}}{\frac{\pi \beta b}{\lambda}} ~.~ \frac{\sin \frac{\pi \beta a}{\lambda}}{\frac{\pi \beta a}{\lambda}}\)
Posons : \(\Phi' = \frac{2 \pi \beta b}{\lambda}\) et \(\Phi = \frac{2 \pi \beta a}{\lambda}\) alors
\(A = A_0 ~ \frac{\sin \frac{\Phi}{2}}{\frac{\Phi}{2}} ~.~ a ~.~ \frac{\sin \frac{\Phi'}{2}}{\frac{\Phi'}{2}}~.~ b\)
L'intensité en \(P\) s'obtient en multipliant l'amplitude complexe \(A\) par son conjugué :
\(I_{(P)} = A . A ^{\ast} = I_0 ~.~ a^2 ~.~ b^2 ~.~\frac{\sin^2 \frac{\Phi}{2}}{\left( \begin{array}{lc}\frac{\Phi}{2}\end{array} \right)^2} ~.~ \frac{\sin^2 \frac{\Phi'}{2}}{\left( \begin{array}{lc}\frac{\Phi'}{2} \end{array} \right)^2}\)