Composantes de E en coordonnées cylindriques

Par analogie avec la démonstration donnée en coordonnées cartésiennes on peut écrire :

  • Pour un déplacement \(\mathrm d \vec M\) dans la direction radiale \(\vec u_\rho\) :

    \(\overrightarrow{MM'} = \mathrm d \vec M = \mathrm d \rho ~ \vec u_\rho\)

    soit \(~\mathrm d V = - \vec E~.~\mathrm d \vec M = - \vec E~.~\mathrm d \rho ~ \vec u_\rho = - E_{\rho}~\mathrm d \rho\)

\(E_{\rho} = - \frac{\partial V}{\partial{\rho}}\)

  • Pour un déplacement \(\mathrm d \vec M\) autour de l'axe dans la direction \(\vec u_{\theta}\) :

    \(\overrightarrow{MM'} = \mathrm d \vec M = \rho \mathrm d \theta ~ \vec u_\theta\)

    soit \(~\mathrm d V = - \vec E~.~\mathrm d \vec M = - \vec E~.~\rho \mathrm d \theta ~ \vec u_\theta = - E_{\theta}~\rho~\mathrm d \theta\)

\(E_{\theta} = - \frac{\partial V}{\rho ~ \partial{\theta}}\)

  • Pour un déplacement \(\mathrm d \vec M\) parallèlement à l'axe dans la direction \(\vec k\)

    \(\overrightarrow{MM'} = \mathrm d \vec M = \mathrm d z ~ \vec k\)

    soit \(~\mathrm d V = - \vec E~.~\mathrm d \vec M = - \vec E~.~\mathrm d z ~ \vec k = - E_z~\mathrm d z\)

\(E_z = - \frac{\partial V}{\partial z}\)