Efforts exercés sur un système matériel

Partie

Question

Force centrale sur une ellipse (*)

Un point matériel M de masse m a pour équation du mouvement dans un repère \((O, x, y)\) de base \((\overrightarrow i,\overrightarrow j)\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow r=a\cos\omega t\overrightarrow i+b\sin\omega t\overrightarrow j}\)

avec \(a,b,\omega\) des constantes positives (\(a >b\)).

  1. Montrer que la trajectoire du point matériel est une ellipse.

  2. Montrer que la force agissant sur le point matériel est constamment dirigée vers l'origine \(O\) du référentiel.

Aide simple

\(\displaystyle{\sin^2x+\cos^2x=1}\)

Solution détaillée

  1. Les équations paramétriques du mouvement sur une base cartésienne sont :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}x&=&a\cos\omega t\\y&=&b\sin\omega t\end{array}}\)

    Pour trouver l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le temps; pour celà on élève au carré :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}x^2&=&a^2\cos^2\omega t\\y^2&=&b^2\sin^2\omega t\end{array}}\)

    Par suite l'équation de la trajectoire est:

    \(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)

    C'est l'équation d'une ellipse centrée à l'origine \(O\) du repère, de demi axes a et \(b\).

  2. Le mouvement est dû à une force \(\overrightarrow F\) que l'on détermine en appliquant le principe fondamental de la dynamique \(m\overrightarrow\gamma=\overrightarrow F\):

    Sachant \(\overrightarrow\gamma=x"\overrightarrow i+y"\overrightarrow j\) que et compte tenu des équations paramétriques ci-dessus :

    \(\overrightarrow F=-ma\omega^2\cos\omega t\overrightarrow i-mb\omega^2\sin\omega t\overrightarrow j=-m\omega^2\overrightarrow r\)

    La force \(\overrightarrow F\) a donc même support que \(\overrightarrow r\) , son support passe par l'origine \(O\) du repère. On dit que \(\overrightarrow F\) est une force centrale.