Le barycentre de \(M_1M2\) est, d'après la définition :
\(\displaystyle{m_1\overrightarrow{G_{12}M_1}+m_2\overrightarrow{G_{12}M_2}=\overrightarrow0}\)
On prend l'origine en \(M_1\) avec \(m_1 = m_2 = 1\)
\(\overrightarrow{G_{12}M_1}+\overrightarrow{G_{12}M_1}+\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow 0\)
\(\displaystyle{\overrightarrow{M_1G_{12}}=\frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{2}}\)
\(G_{12}\) est le milieu de \(M_1M_2 \textrm{ et }G_{12}M_3\) est la médiane relative à ce côté du triangle. Le barycentre de \(G_{12}\) (affecté de la masse \(m_1+m_2=2\)) et de \(M_3\) (de masse 1) est :
\(\displaystyle{\overrightarrow{2GG_{12}}+\overrightarrow{GM_3}=\overrightarrow0}\)
soit encore :
\(\displaystyle{\overrightarrow{G_{12}G}=\frac{\overrightarrow{G_{12}M_3}}{3}}\)
Le point \(G\) situé au tiers de\( \overrightarrow{G_{12}M_3}\) est par construction le point de concours des médianes du triangle \(M_1M_2M_3\).
