Efforts exercés sur un système matériel
Partie
Question
Barycentre de trois points (*)
Montrer que pour un système de trois points fixes non alignés, dont les masses sont égales, le barycentre est le point de concours des médianes du triangle défini par les trois points.
Aide simple
Utiliser la définition du barycentre Le point de concours des médianes d'un triangle s'effectue au barycentre, situé au tiers, vers la base de chacune d'elles.
Solution détaillée
Le barycentre de \(M_1M2\) est, d'après la définition :
\(\displaystyle{m_1\overrightarrow{G_{12}M_1}+m_2\overrightarrow{G_{12}M_2}=\overrightarrow0}\)
On prend l'origine en \(M_1\) avec \(m_1 = m_2 = 1\)
\(\overrightarrow{G_{12}M_1}+\overrightarrow{G_{12}M_1}+\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow 0\)
\(\displaystyle{\overrightarrow{M_1G_{12}}=\frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{2}}\)
\(G_{12}\) est le milieu de \(M_1M_2 \textrm{ et }G_{12}M_3\) est la médiane relative à ce côté du triangle. Le barycentre de \(G_{12}\) (affecté de la masse \(m_1+m_2=2\)) et de \(M_3\) (de masse 1) est :
\(\displaystyle{\overrightarrow{2GG_{12}}+\overrightarrow{GM_3}=\overrightarrow0}\)
soit encore :
\(\displaystyle{\overrightarrow{G_{12}G}=\frac{\overrightarrow{G_{12}M_3}}{3}}\)
Le point \(G\) situé au tiers de\( \overrightarrow{G_{12}M_3}\) est par construction le point de concours des médianes du triangle \(M_1M_2M_3\).