Pendule simple
Partie
Question
Pendule simple (*)
Un pendule simple est constitué d'une boule sphérique de rayon r, de masse m suspendue par un fil de masse négligeable, de longueur l; l'autre extrémité du fil est accrochée à un point fixe \(O\). On prendra\( l \gg r\) de telle sorte que la boule pourra être assimilée à un point matériel. Le système est dans le champ de pesanteur terrestre et on néglige tout frottement.
![](../res/schenoncexe01.gif)
On étudie le mouvement dans le plan vertical Oxy d'un référentiel local supposé galiléen pour la durée du mouvement.
Faire le bilan des forces appliquées à la boule.
On utilise un repérage cartésien \(M(x,y)\). Etablir l'équation du mouvement à l'aide du principe fondamental de la dynamique.
On utilise un repérage polaire \(M(l,\theta)\) avec \(\displaystyle{\theta=(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}\).
Calculer le moment cinétique de la boule par rapport à \(O\). En déduire l'équation du mouvement en appliquant le théorème du moment cinétique .
Etudier le cas des petites oscillations ( \(sin\theta\) de l'ordre de \(\theta\)).
Aide simple
Utiliser le théorème du moment cinétique par rapport au point O
Solution détaillée
![](../res/schesolexe01.gif)
La masse \(m\) est soumise au poids \(\displaystyle{\overrightarrow p=mg\overrightarrow i}\) et à la tension du fil
\(\displaystyle{\overrightarrow T=-\frac{T}{l}\overrightarrow{OM}=-\frac{T}{l}(x\overrightarrow i+y\overrightarrow j)}\)
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{m(x"\overrightarrow i+y"\overrightarrow j)=mg\overrightarrow i-\frac{T}{l}(x\overrightarrow i+y\overrightarrow j)}\)
soit :
\(\displaystyle{mx"=mg-\frac{T}{l}x\textrm{ et }my"=-\frac{T}{l}y}\)
Moment cinétique :
\(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow V=1\overrightarrow u_{\rho}\wedge ml\theta'\overrightarrow u_\theta=ml^2\theta'(\overrightarrow u_\rho\wedge\overrightarrow u_\theta)\textrm{ soit }\overrightarrow\sigma=ml^2\;\theta'\overrightarrow k}\)
Par application du théorème du moment cinétique :
\(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\sigma}{\textrm dt}=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow F=1\overrightarrow u_\sigma\wedge(-T\overrightarrow u_\rho+mg\overrightarrow i)}\)
\(\displaystyle{\frac{\textrm d}{\textrm dt}(ml^2\theta'\overrightarrow k)=mgl\overrightarrow u_\rho\wedge\overrightarrow i=mgl(\cos\theta\overrightarrow i+\sin\theta\overrightarrow j)\wedge\overrightarrow i}\)
\(\displaystyle{ml^2\theta"\overrightarrow k=-mgl\sin\theta\overrightarrow k}\)
d'où : \(\displaystyle{\theta"=-\frac{g}{l}\sin\theta}\)
Avec\( \displaystyle{\sin\theta\approx\theta}\),
et en posant : \(\displaystyle{\omega^2=\frac{g}{l} :\theta"+\omega^2\theta = 0}\) dont la solution est : \(\theta = \theta_0\cos(\omega t + \phi)\)