Neutron contre noyaux
Partie
Question
Neutron contre noyaux (**)
Un neutron de masse \(m\), de vitesse \(v\), heurte un noyau au repos de masse \(M= k.m\).
exprimer l'énergie \(E\) du neutron après le choc en fonction de son énergie initiale et de\( k\).
On suppose que les vitesses des particules, avant et après le choc, sont toutes colinéaires et que l'énergie cinétique est conservée au cours du choc.
L'énergie cinétique du neutron étant \(1 \textrm{ MeV}\), combien de chocs identiques au précédent, cette particule doit-elle subir pour que son énergie finale soit \(0,025 \textrm{ eV}\) lorsqu'elle percute :
- des noyaux d'hydrogène, \(k = 1\)
- des noyaux de deutérium, \(k = 2\)
- des noyaux de carbone, \(k = 12\)
Aide simple
Le problème est uni-directionnel.
Le système étant isolé, les lois de conservation s'appliquent.
De plus, le choc est élastique.
Solution détaillée
Le système neutron-noyau étant isolé, il y a conservation de la quantité de mouvement.
Le choc étant élastique, il y a conservation de l'énergie cinétique.
Dans le cas général d'un choc de deux particules de plein fouet, si on pose les masses égales à \(\displaystyle{m_1\textrm{ et }m_2}\) , les vitesses avant le choc \(\displaystyle{\overrightarrow v_1\textrm{ et }\overrightarrow v_2}\) et , après le choc \(\displaystyle{\overrightarrow{v'_1}\textrm{ et }\overrightarrow{ v'_2}}\) et la conservation de la quantité de mouvement s'écrit:
\(\displaystyle{m_1\overrightarrow v_1+m_2\overrightarrow v_2=m_1\overrightarrow{v'_1}+m_2\overrightarrow{v'_2}\quad(1)}\)
La conservation de l'énergie cinétique:\(m_1{v_1}^2+m_2{v_2}^2=m_1{{v'}_1}^2+m_2{{v'}_2}^2\quad(2)\)
Le problème étant uni-directionnel, l'écriture se simplifie et la relation sur les vecteurs devient une relation entre les composantes.
D'où \(m_1({v_1}^2-{{v'}_1}^2)=m_2({{v'}_2}^2-{v_2}^2)\)
\(\displaystyle{m_1(v_1-v'_1)=m_2(v'_2-v_2)}\)
On en tire par division : \(\displaystyle{v_1+v'_1=v_2+v'_2}\)
\(\displaystyle{v'_1=\frac{2m_2v_2+(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2}}\)
De ((1 et (3), on tire :\( \displaystyle{v'_2=\frac{2m_1v_1-(m_1-m_2)v_2}{m_1+m_2}}\)
Dans le cas particulier proposé:
\(\displaystyle{m_1=m\quad m_2=k.m\quad v_1=m\quad v_2=0}\)
\(\displaystyle{v'_1=\frac{(1-k)v}{1+k}\quad v'_2=\frac{2v}{1+k}}\)
comme \(k > 1, v'_1\) est négatif (recul).
Pour la suite nous prendrons \(\displaystyle{\frac{k-1}{k+1}}\) puisque nous travaillons sur \(v^2\) .
L'énergie cinétique initiale du neutron est : \(\displaystyle{E_0=\frac{1}{2}mv^2}\); après ce premier choc, elle devient :
\(\displaystyle{E_1=\frac{1}{2}m[\frac{k-1}{k+1}]^2v^2}\)
après le \(\textrm n^{\textrm{\`eme}}\) choc :\( \displaystyle{E_n=\frac{1}{2}m[\frac{k-1}{k+1}]^{2n}v^2=E_0[\frac{k-1}{k+1}]}\)
\(\displaystyle{E_0=1.10^{6}\textrm{ eV}\textrm{ et }E_n=25.10^{-3}\textrm{ eV }}\)
Si \(\displaystyle{\frac{E_n}{E_0}=[\frac{k-1}{k+1}]=25.10^{-9}}\)
soit en log décimaux : \(\displaystyle{2n\textrm{ lg}\frac{k-1}{k+1}=\textrm{lg }25-9=-7,602\quad n=\frac{\textrm{lg }25-9}{2\textrm{ lg}\frac{k-1}{k+1}}\quad n=\frac{1}{2}\frac{-7,602}{\textrm{lg}\frac{k-1}{K+1}}}\)
Pour \(k = 1\), il y a échange des vitesses; après le choc le neutron est immobile et le proton s'éloigne à la vitesse \(v\).
Pour\( k = 2\), \(\displaystyle{ \frac{k-1}{k+1}=\frac{1}{3}\quad n = 8 }\)
Pour \(\displaystyle{k = 12,\quad \frac{k-1}{k_+2}=\frac{11}{13}\quad n = 52,4}\)