Intégrale de Laplace

Partie

Question

Intégrale de Laplace (***)

Soit un référentiel galiléen, muni du repère sphérique\( (O,\overrightarrow u_r,\overrightarrow u_\theta,\overrightarrow u_\Phi)\) .Une particule \(P\), de masse \(m\), est placée dans le champ de forces central:

\(\displaystyle{\overrightarrow F(M)=\frac{-k}{r^2}\overrightarrow u_r}\)

\(k\) est une constante positive, différente de \(0\).

  1. A partir du théorème du moment cinétique, déduire que le moment cinétique \(\overrightarrow\sigma\) est constant. Montrer que la trajectoire de la particule est plane.

  2. Dans les questions suivantes, on utilise un repère cylindrique \((O,\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k)\) . Le vecteur unitaire\( \overrightarrow k\) sera pris orthogonal au plan de la trajectoire. On pose alors \(\overrightarrow\sigma=\sigma_0\overrightarrow k\) et la force appliquée à la particule s'écrit maintenant:

    \(\displaystyle{\overrightarrow F(M)=\frac{-k}{\rho^2}\overrightarrow u_\rho}\)

    Exprimer\( \sigma_0\) en fonction de \(\displaystyle{m,\rho\textrm{ et }\Phi}\)

  3. Quelle relation existe entre\( \displaystyle{\dot\Phi\frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm dt}\textrm{ et }\overrightarrow u_\rho}\)

  4. A partir du théorème de la quantité de mouvement et l'équation vectorielle correspondante pour la particule \(P\), déduire de ce qui précède que le vecteur vitesse peut se mettre sous la forme

    \(\displaystyle{\overrightarrow V=\frac{k}{\sigma_0}(\overrightarrow u_\Phi+\overrightarrow H)}\)

    \(\overrightarrow H\) est un vecteur constant. Montrer que la composante selon \(\overrightarrow u_\Phi\) du vecteur vitesse est égale à

    \(\displaystyle{\frac{\sigma_0}{m\rho}}\)

  5. La trajectoire est elliptique de foyer \(O\) et d'équation\( \displaystyle{\frac{1}{\rho}=\frac{1}{p}+\frac{\textrm e}{p}\cos\Phi}\)\(\textrm e\) est l'excentricité de l'ellipse et \(p\) son paramètre.

    On note \(S\) la position du périgée (point où la distance \(OP\) est minimum). En considérant la vitesse de la particule en \(S\), déterminer la direction de \(\overrightarrow H\) . En utilisant notamment ce dernier résultat, déterminer complètement le vecteur \(\overrightarrow H\) . Représenter en un point quelconque de la trajectoire elliptique et au point \(S\), les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow F,\overrightarrow V\textrm{ et }\overrightarrow H}\) .

    On donne\( \displaystyle{p=\frac{\sigma_0^2}{mk}}\) .

Aide simple

Utiliser l'intégration et la dérivation de vecteurs constants

Solution détaillée
  1. Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point A fixe dans ce référentiel, est égale au moment résultant par rapport au même point A des forces appliquées au point matériel.

    \(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\sigma_A}{\textrm dt}=\overrightarrow N(A)=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow F(M)}\)

    Or,\( \displaystyle{\overrightarrow F(M)=\frac{-k}{r^2}\overrightarrow u_r\textrm{ et }\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow u_r}\)

    Par suite du produit vectoriel, \(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\sigma_A}{\textrm dt}=\overrightarrow0}\)

    donc\( \overrightarrow\sigma\) est un vecteur constant perpendiculaire au plan défini par \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow v\) ,donc le plan de la trajectoire est constant : la trajectoire est plane.

  2. Par définition,

    \(\overrightarrow\sigma=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow v=\rho\overrightarrow u_\rho\wedge m\overrightarrow v\textrm { or } : \overrightarrow v=\dot\rho\overrightarrow u_\rho+\rho\dot\Phi\overrightarrow u_\Phi\)

    d'où \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=m\rho^2\dot\Phi\overrightarrow u_\rho\wedge\overrightarrow u_\Phi=m\rho^2\dot\Phi\overrightarrow k=\sigma_0\overrightarrow k\textrm{ et }\sigma_0=m\rho^2\dot\Phi}\)

  3. La relation existant entre \(\displaystyle\frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm dt},\dot\Phi\textrm{ et }\overrightarrow u_\rho\) , s'obtient en effectuant une dérivation composée

    \(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm dt}=\frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm d\Phi}\frac{\textrm d\Phi}{\textrm dt}=\dot\Phi\frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm d\Phi}=-\dot\Phi\overrightarrow u_\rho}\)

  4. Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces appliquées à un point matériel est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement.

    \(\displaystyle{\overrightarrow F=\frac{\textrm d\overrightarrow mv}{\textrm dt}=\frac{\textrm d\overrightarrow p}{\textrm dt}}\)

    \(\frac{ \textrm d \overrightarrow mv }{ \textrm dt } = m \frac{ \textrm d }{ \textrm dt }(\dot\rho\overrightarrow u_\rho + \dot\Phi\overrightarrow u_\Phi)=-\frac{k}{\rho^2}\overrightarrow u_\rho\)

    d'où\( \displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow v}{\textrm dt}=-\frac{k}{m\rho^2}\overrightarrow u_\rho}\) . Or, on a vu que

    \(\displaystyle{\dot\Phi=\frac{\sigma_0}{m\rho^2}\textrm{ et que }\frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm dt}=-\dot\Phi\overrightarrow u_\rho}\)

    ce qui donne \(\frac{\textrm d\overrightarrow v}{\overrightarrow{\textrm dt}}= \frac{k}{\sigma_0} \frac{\textrm d\overrightarrow u_\Phi}{\textrm dt} \textrm{ avec } \frac{k}{\sigma_0}= \textrm{cste}\) .

    En intégrant \( \displaystyle{\overrightarrow v=\frac{k}{\sigma_0}(\overrightarrow u_\Phi+\overrightarrow H)}\)

    \(\overrightarrow H\) est un vecteur constant d'intégration.

    La composante selon \(\overrightarrow u_\Phi\) du vecteur vitesse est égale par définition à :

    \(\displaystyle{\overrightarrow v\cdot\overrightarrow u_\Phi=\rho\dot\Phi=\frac{\sigma_0}{m\rho}}\)

  5. Cette composante est aussi égale à

    \(\displaystyle{\overrightarrow v\cdot\overrightarrow u_\Phi=\frac{k}{\sigma_0}+\frac{k}{\sigma_0}(\overrightarrow u_\Phi\cdot\overrightarrow H)}\)

    de la même manière

    \(\displaystyle{\overrightarrow v\cdot\overrightarrow u_\rho=\frac{k}{\sigma_0}(\overrightarrow u_\rho\cdot\overrightarrow H)=\dot\rho}\)

    étant constant, on choisit pour le déterminer un point où on connait \(\overrightarrow v\) : en \(S\), \(\overrightarrow v\) est selon \(\overrightarrow u_\Phi\) et est égal à \(\displaystyle{\overrightarrow v(S)=\rho_{\textrm{min}}\dot\Phi\overrightarrow u_\Phi}\) ;

    par suite, \(\displaystyle{\overrightarrow v=\frac{k}{\sigma_0}(\overrightarrow u_\Phi+\overrightarrow H)}\)

    est aussi selon \(\overrightarrow u_\Phi\) et sa norme est constante.

    On a vu que \(\displaystyle{\overrightarrow v\cdot\overrightarrow u_\Phi=v_\Phi=\frac{\sigma_0}{m\rho}=\frac{\sigma_0}{m}(\frac{1}{p}+\frac{\textrm e}{p}\cos\Phi)}\)

Au point \(S\): \(\displaystyle{v_\Phi=\frac{\sigma_0}{mp}(1+\textrm e)=\frac{k}{\sigma_0}(1+\Vert\overrightarrow H\Vert)}\)

On déduit que\( \displaystyle{\Vert\overrightarrow H\Vert=\textrm e}\)

:l'excentricité de l'ellipse car \(\displaystyle{p=\frac{\sigma_0^2}{mk}}\)

La grandeur est une intégrale première du mouvement, c'est l'intégrale de Laplace :

\(\displaystyle{\overrightarrow H=\textrm e\overrightarrow u_{\Phi(S)}}\)