Fil tendu

Partie

Question

Fil tendu (**)

Soit un mobile \(M\) de masse \(m\) lié à un point fixe \(O\) par un fil inextensible de longueur l,de masse négligeable.

Après lancement, \(M\) tourne dans un plan horizontal sur un cercle, le fil restant tendu ; on néglige tout frottement.

  1. On considère un référentiel local \(R(O,x,y,z)\) galiléen; \((O,x,y)\) est le plan horizontal. Faire un bilan des forces auxquelles est soumis le mobile. Ecrire le principe fondamental de la dynamique. Calculer la réaction\( \overrightarrow R\) du plan et la tension \(\overrightarrow T\) du fil.

  2. On considère un second référentiel \(R'(O,x',y,z')\) de même origine que le précédent, ses axes étant entrainés par le mouvement de \(M\); on prendra par exemple \(M\) sur \(Ox'\).

    Ce référentiel est-il galiléen ? Que peut-on écrire ? En déduire \(\overrightarrow R\) et \(\overrightarrow T\) . Conclusion ?

Aide simple

Choisir une base polaire

Appliquer la loi de composition des accélérations.

Solution détaillée
  1. -- Les forces agissant sur \(M\) sont :

    - son poids \(m\overrightarrow g\) vertical

    - la réaction \(\overrightarrow R\) du plan perpendiculaire au plan puisqu'il n'y a pas de frottement

    - la tension \(\overrightarrow T\) du fil portée par le fil. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

    \(\displaystyle{m\overrightarrow\gamma=m\overrightarrow g+\overrightarrow R+\overrightarrow T}\)

    On projette cette expression vectorielle sur une base; on choisit ici une base polaire cylindrique :

    -\(\displaystyle{ml\Phi'^2 = -T \textrm{ sur }\overrightarrow u_\rho}\)

    \(\displaystyle{ml\Phi'' = 0 \textrm{ sur }\overrightarrow u_\Phi}\)

    - \(mg + R = 0 \textrm{ sur }\overrightarrow k\)

    La seconde équation montre que le mouvement est circulaire uniforme :

    \(\displaystyle{\Phi"=0\Longrightarrow\Phi'=\textrm{cste}=\omega(\textrm{vitesse angulaire})}\)

    La première donne \(T = ml\omega^2\)

    La troisième donne \(R = mg\)

  2. -- Le référentiel \(R'\) n'est pas galiléen puisqu'il est en rotation par rapport à un référentiel galiléen. On est donc tenu de n'écrire le PFD que par rapport au référentiel \(R\). Soit,

    \(\displaystyle{m\overrightarrow\gamma/R=m\overrightarrow g+\overrightarrow R+\overrightarrow T=m(\overrightarrow\gamma/R'+\overrightarrow\gamma_e+\overrightarrow\gamma_c)}\)

    \( M\) est immobile dans \(R\)', son accélération et sa vitesse sont nulles. Donc\( \overrightarrow\gamma/R'\) et \(\overrightarrow\gamma_e\) sont nuls. L'accélération d'entrainement se réduit à

    \(\displaystyle{\overrightarrow\omega\wedge(\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow{OM}=-\omega^2l\overrightarrow u_\rho)}\)

    Sur la base polaire :

    \(\displaystyle{\overrightarrow T=-ml\omega^2\overrightarrow u_\rho}\)

    \(\displaystyle{\overrightarrow R=mg\overrightarrow k}\)

    On retrouve bien le même résultat.