Stigmatisme rigoureux [Dioptre plan]

Stigmatisme rigoureux

On sait que la lumière, au passage d'un milieu d'indice n₁dans un milieu d'indice n₂, subit, en général, le phénomène de réfraction. Considérons un point source A₁ situé dans le milieu d'indice n₁> n₂. Au rayon incident A₁I correspond, après réfraction, au niveau du dioptre plan, un rayon émergent IR dont la direction est définie par la relation :

\(\mathrm n_1~\sin~\mathrm i_1=\mathrm n_2~\sin~\mathrm i_2\) \(~~~~(1)\)

De même, au rayon incident A₁H correspond le rayon réfracté HN tel que A₁, H et N soient alignés puisqu'il s'agit d'un rayon incident normal au dioptre plan. L'intersection des deux rayons émergents, ou plus précisément de leur prolongement, définit un point A2, image ^[1]conjugué de l'objet A1 à travers le dioptre plan.

A₁ et A₂ peuvent-ils être des points conjugués^[2] rigoureusement stigmatiques ? En d'autres termes, au point source A₁ peut-il correspondre une image ponctuelle unique A₂, quel que soit le rayon incident A₁I choisi ?

Non, le dioptre plan n'est pas rigoureusement stigmatique^[3] pour tous les points sources de l'espace.

L'animation suivante permet de visualiser cette propriété :

Stigmatisme rigoureux

Le stigmatisme des points à l'infini est visualisé dans la vidéo suivante :

Stigmatisme des points à l'infini

En revanche, il existe deux cas particuliers, dont un est important pour les applications qui en résultent, où cette propriété est vérifiée.

1) lorsque le point source A1 est situé sur le dioptre plan . Dans ce cas , \(\overline{\mathrm{HA}_1}=0\) et par suite \(\overline{\mathrm{HA}_2}=0\). Concrètement, tout point de la surface du dioptre est à lui-même son image^[1], ce qui signifie que tout faisceau conique de rayons incidents venant converger en un point A₁ de cette surface donne naissance à un faisceau conique divergent ^[4]de rayons réfractés partant de A₁ ; le dioptre modifie simplement l'ouverture du faisceau lumineux^[4]

2) lorsque le point source A₁ est un point à l'infini, tous les rayons incidents issus de A₁ sont parallèles entre eux ; quelle que soit la position du point I sur le dioptre, i₁ est un angle constant et par conséquent i₂ (loi de la réfraction); le rapport de leur tangente est donc constant : la condition de stigmatisme ^[5]rigoureux est bien satisfaite.

En outre, on peut noter que le faisceau émergent étant composé de rayons parallèles entre eux, il donne de l'objet ponctuel A₁ situé à l'infini une image ponctuelle A₂ rejetée elle-même à l'infini. Cette propriété intéressante mérite d'être soulignée, car elle est mise à profit dans la réalisation d'instruments d'optique tels que les spectroscopes et spectrographes à prisme.

Le dioptre plan n'est donc rigoureusement stigmatique que dans deux cas de figure :

lorsque le point source est sur le surface du dioptre ; le point image est alors confondu avec le point objet.
lorsque le point source est à l'infini; son image, ponctuelle est elle-même à l'infini.

Notes

Image
On appelle image d'un objet par un système optique, l'ensemble des images des points de l'objet.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique.
En pratique, l'image ressemble à l'objet (sinon le système ne présente pas d'intérêt), elle peut être
- agrandie : plus grande que l'objet ( |grandissement| >1) ;
- rapetissée : plus petite que l'objet ( |grandissement| <1) ;
- droite : dans le même sens que l'objet (grandissement >0) ;
- renversée : dans le sens contraire à l'objet (grandissement <0) ;
- déformée : un système qui déforme parce qu'il n'a pas le même grandissement dans différentes directions provoque une anamorphose (ex : glace déformante) ;
- floue
Conjugués
Les points A et A' sont dits conjugués, par un système optique, lorsque A' est l'image de A. Le système est alors stigmatique pour les points A et A'.
Les plans P et P' sont dits conjugués, lorsque tout point du plan P possède une image dans le plan P'.
Rigoureusement stigmatique
\(A_{\mathit1}\) et \(A_{\mathit2}\) peuvent-ils être des points conjugués rigoureusement stigmatiques ? En d'autres termes, au point source \(A_{\mathit1}\) peut-il correspondre une image ponctuelle unique \(A_{\mathit2}\), quel que soit le rayon incident \(A_{\mathit1}I\) choisi ?
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la grandeur \(HA_{\mathit2}\) soit une constante indépendante de la position de \(I\) sur le dioptre plan.
Or on observe que :
\(\tan~i_{\mathit1}=\frac{\overline{HI}}{\overline{HA_{\mathit1}}}\)
et
\(\tan~i_{\mathit2}=\frac{\overline{HI}}{\overline{HA_{\mathit2}}}\)
soit :
\(\overline{HA_{\mathit2}}=\overline{HA_{\mathit1}}~\frac{\tan~i_{\mathit1}}{\tan~i_{\mathit2}}~~~~~~(2)\)
Le point \(A_{\mathit1}\) étant fixe, \(HA_{\mathit1}\) est une grandeur constante. La condition nécessaire et suffisante sur \(HA_{\mathit2}\) s'exprime donc par :
\(\frac{\tan~i_{\mathit1}}{\tan~i_{\mathit2}}=\mathrm{constante}\)
Cette condition n'est généralement pas satisfaite, car s'il est vrai que :
\(\frac{\sin~i_{\mathit1}}{\sin~i_{\mathit2}}=\mathrm{constante}\)
(loi de Descartes), cela n'implique pas la constance du rapport des tangentes, systématiquement.
Faisceau Lumineux
Un faisceau lumineux est constitué d'un ensemble de rayons.
Il peut être :
- parallèle si les rayons qui le constituent sont parallèles,
- convergent si les rayons qui le constituent, convergent vers un même point
- divergent si les rayons qui le constituent, semblent provenir d'un même point.
Remarque :
Un faisceau convergent devient un faisceau divergent après passage par le point de convergence.
Stigmatisme
Propriété d'un système optique qui associe un seul point image à un seul point source. Un système peut n'être stigmatique que pour certains points remarquables. Pour un système stigmatique, tous les rayons issus d'un point source du domaine de stigmatisme, convergent vers le (ou proviennent du) même point image. Le stigmatisme est dit rigoureux lorsque le chemin optique entre le point objet et le point image est indépendant du rayon. Le stigmatisme est dit approché lorsque les conditions de Gauss sont nécessaires pour qu'il soit réalisé.
Exemple de système non stigmatique pour le couple de points \(AA'\) : le rayon \(APP"A"\) ne passe pas par \(A'\), image de \(A\) par d'autres rayons.
Un dioptre plan n'est pas stigmatique.