Image d'un objet étendu ; grandissement linéaire

La recherche de l'image A2B2 d'un objet lumineux A1B1 revient à déterminer la position des images conjuguées à travers le dioptre plan des différents points composant l'objet[1].

Pour que cette image [2]soit nette, il est clair que si A1B1 est à distance finie, les conditions de stigmatisme [3]approché doivent être satisfaites.

Examinons dans cette hypothèse et pour des milieux d'indice n1 et n2 tels que n1 > n2, les trois cas de figure suivants :

1) l'objet A1B1 est parallèle à la surface du dioptre et réel[4]. On vérifie aisément que les différents points qui composent l'image virtuelle[5] A2B2 se déduisent de leur point conjugué objet par une simple translation :

\(\overline{\mathrm A_1\mathrm A_2}=\frac{\mathrm n_1-\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~\overline{\mathrm A_1\mathrm H}=\frac{\mathrm n_1-\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~\overline{\mathrm B_1\mathrm K}=\overline{\mathrm B_1\mathrm B_2}\)

expression qui résulte de la formule de conjugaison du dioptre aux deux points A1 et B1.

On peut donc conclure que l'image virtuelle A2B2 est parallèle à la surface du dioptre et que le grandissement[6] linéaire est : \(\gamma=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}=+1\)

L'animation suivante permet de visualiser l'obtention de l'image d'un objet étendu par un dioptre plan :

Image d'un objet par un dioptre plan

2) l'objet A1B1 est perpendiculaire à la surface du dioptre et réel[4].

L'image virtuelle[5] A2B2 de l'objet[1] se forme sur la normale A1B1H du dioptre. L'application de la formule de conjugaison du dioptre plan aux couples de points conjugués[7] (A1A2) et (B1B2) permet d'autre part d'établir que le grandissement[6] linéaire reste positif mais n'est plus égal à 1; on trouve en effet que : \(\gamma=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}=\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}\)

3) l'objet est un solide de forme quelconque et est réel. Prenons l'exemple d'un objet réel[4] de forme pyramidale, dont la base A1B1C1 est parallèle au plan du dioptre et dont le sommet S1est à l'aplomb de A1

Conformément à ce qui vient d'être noté, les grandeurs algébriques A2B2, B2C2et C2A2 sont telles que :

\(\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}=\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}~~~~~~~~\overline{\mathrm B_2\mathrm C_2}=\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}~~~~~~~~\overline{\mathrm C_2\mathrm A_2}=\overline{\mathrm C_1\mathrm A_1}\)

en revanche : \(\overline{\mathrm A_2\mathrm S_2}=\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~\overline{\mathrm A_1\mathrm S_1}\)

En conclusion, l'image[2] du solide est une pyramide dont la base est vue en vraie grandeur, mais dont la hauteur est réduite; cette image[2] est virtuelle car n1> n2.

L'animation suivante permet de visualiser l'obtention de l'image d'un objet étendu par un dioptre plan :

Image d'un objet par un dioptre plan