Image d'un objet étendu ; grandissement linéaire [Dioptre plan]

Image d'un objet étendu ; grandissement linéaire

La recherche de l'image A₂B₂ d'un objet lumineux A₁B₁ revient à déterminer la position des images conjuguées à travers le dioptre plan des différents points composant l'objet^[1].

Pour que cette image ^[2]soit nette, il est clair que si A₁B₁ est à distance finie, les conditions de stigmatisme ^[3]approché doivent être satisfaites.

Examinons dans cette hypothèse et pour des milieux d'indice n₁ et n₂ tels que n₁ > n₂, les trois cas de figure suivants :

1) l'objet A₁B₁ est parallèle à la surface du dioptre et réel^[4]. On vérifie aisément que les différents points qui composent l'image virtuelle^[5] A₂B₂ se déduisent de leur point conjugué objet par une simple translation :

$\overline{\mathrm A_1\mathrm A_2}=\frac{\mathrm n_1-\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~\overline{\mathrm A_1\mathrm H}=\frac{\mathrm n_1-\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~\overline{\mathrm B_1\mathrm K}=\overline{\mathrm B_1\mathrm B_2}$

expression qui résulte de la formule de conjugaison du dioptre aux deux points A₁ et B₁.

On peut donc conclure que l'image virtuelle A₂B₂ est parallèle à la surface du dioptre et que le grandissement^[6] linéaire est : $\gamma=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}=+1$

L'animation suivante permet de visualiser l'obtention de l'image d'un objet étendu par un dioptre plan :

Image d'un objet par un dioptre plan

2) l'objet A₁B₁ est perpendiculaire à la surface du dioptre et réel^[4].

L'image virtuelle^[5] A₂B₂ de l'objet^[1] se forme sur la normale A₁B₁H du dioptre. L'application de la formule de conjugaison du dioptre plan aux couples de points conjugués^[7] (A₁A₂) et (B₁B₂) permet d'autre part d'établir que le grandissement^[6] linéaire reste positif mais n'est plus égal à 1; on trouve en effet que : $\gamma=\frac{\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}=\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}$

3) l'objet est un solide de forme quelconque et est réel. Prenons l'exemple d'un objet réel^[4] de forme pyramidale, dont la base A₁B₁C₁ est parallèle au plan du dioptre et dont le sommet S₁est à l'aplomb de A₁

Conformément à ce qui vient d'être noté, les grandeurs algébriques A₂B₂, B₂C₂et C₂A₂ sont telles que :

$\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}=\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}~~~~~~~~\overline{\mathrm B_2\mathrm C_2}=\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}~~~~~~~~\overline{\mathrm C_2\mathrm A_2}=\overline{\mathrm C_1\mathrm A_1}$

en revanche : $\overline{\mathrm A_2\mathrm S_2}=\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~\overline{\mathrm A_1\mathrm S_1}$

En conclusion, l'image^[2] du solide est une pyramide dont la base est vue en vraie grandeur, mais dont la hauteur est réduite; cette image^[2] est virtuelle car n₁> n₂.

L'animation suivante permet de visualiser l'obtention de l'image d'un objet étendu par un dioptre plan :

Image d'un objet par un dioptre plan

Notes

Objet
En optique, on appelle objet tout ensemble de points lumineux. Il peut s'agir d'une source primaire qui produit de la lumière (ex : soleil, étoiles, filament de lampe allumée, écran de télévision ou d'ordinateur en fonction), ou d'une source secondaire qui diffuse une partie de la lumière qu'elle reçoit (ex : lune, planètes, la plupart des objets qui nous entourent lorsqu'ils sont éclairés).
On considère, en général, des objets plans situés dans des plans de front de systèmes optiques.
Dans des systèmes composés on pourra considérer qu'une image produite par une première partie du système est un objet pour le reste du système.
Image
On appelle image d'un objet par un système optique, l'ensemble des images des points de l'objet.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique.
En pratique, l'image ressemble à l'objet (sinon le système ne présente pas d'intérêt), elle peut être
- agrandie : plus grande que l'objet ( |grandissement| >1) ;
- rapetissée : plus petite que l'objet ( |grandissement| <1) ;
- droite : dans le même sens que l'objet (grandissement >0) ;
- renversée : dans le sens contraire à l'objet (grandissement <0) ;
- déformée : un système qui déforme parce qu'il n'a pas le même grandissement dans différentes directions provoque une anamorphose (ex : glace déformante) ;
- floue
Stigmatisme
Propriété d'un système optique qui associe un seul point image à un seul point source. Un système peut n'être stigmatique que pour certains points remarquables. Pour un système stigmatique, tous les rayons issus d'un point source du domaine de stigmatisme, convergent vers le (ou proviennent du) même point image. Le stigmatisme est dit rigoureux lorsque le chemin optique entre le point objet et le point image est indépendant du rayon. Le stigmatisme est dit approché lorsque les conditions de Gauss sont nécessaires pour qu'il soit réalisé.
Exemple de système non stigmatique pour le couple de points $AA'$ : le rayon $APP"A"$ ne passe pas par $A'$ , image de $A$ par d'autres rayons.
Un dioptre plan n'est pas stigmatique.
Objet Réel
Un objet réel est un objet situé en avant de la face d'entrée du système optique, dans l'espace objet réel.
Des rayons (bien réel) partent des points qui constituent cet objet vers la face d'entrée du système optique.
Avec une loupe, des lunettes correctrices, ou un télescope, on observe des objets réels.
Dans un système optique composé, une image, formée par une première partie du système, peut être considéré comme un objet réel pour la seconde partie si l'image en question est située en avant de cette seconde partie.
Image Virtuelle
Lorsque des rayons semblent provenir d'un plan situé en deçà du système optique, dans l'espace image virtuelle, on dit que l'image est virtuelle.
C'est le prolongement des rayons issus du point objet conjugué qui convergent au point image.
L'image virtuelle ne peut pas être recueillie sur un écran, mais seulement observée directement ou par un autre système optique.
Lorsqu'on utilise une loupe, l'image directe et agrandie que l'on observe est une image virtuelle.
Les verres correcteurs pour myopes (lentilles divergentes) produisent des images virtuelles de tous les objets observés à travers les lunettes.
Grandissement
Le grandissement est un nombre algébrique, rapport entre les dimensions de l'image $A'B'$ et de l'objet $AB$ :
$\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$
Lorsque le système est aplanétique, l'image $A'B'$ d'un objet $AB$ situé dans un plan de front est également dans un plan de front. Le grandissement mesuré dans ces conditions est un grandissement transverse.
Le grandissement longitudinal (ou axial) est le rapport algébrique des dimensions de l'image et de l'objet prises suivant l'axe principal du système optique.
Le grandissement, parfois appelé grandissement linéaire ne doit pas être confondu avec le grossissement $G$ qui fait référence à des angles.
Conjugués
Les points A et A' sont dits conjugués, par un système optique, lorsque A' est l'image de A. Le système est alors stigmatique pour les points A et A'.
Les plans P et P' sont dits conjugués, lorsque tout point du plan P possède une image dans le plan P'.