Repérage d'une Grandeur [Grandeurs - Symboles

Repérage d'une Grandeur

Certaines grandeurs ne sont pas mesurables car l'échelle numérique associée, pour les caractériser, dépend arbitrairement du choix d'une origine. Dans ce cas les grandeurs sont dites repérables.

Nous avons déjà mentionné :

la position d'un point dans l'espace repérée en fonction de l'origine d'un système d'axes de coordonnées.
la position d'un événement dans le temps qui nécessite de fixer une origine au calendrier.
l'énergie totale d'un système, définie à une constante additive près, par rapport à un état énergétique de référence.
la température, qui d'un point de vue "microscopique" est une grandeur qui mesure l'agitation thermique de la matière, caractérise "macroscopiquement" l'état d'un corps plus ou moins chaud et se repère par des instruments nommés thermomètres.

Repérer une température c'est choisir :

Une grandeur dite "thermométrique" reliant l'évolution d'une propriété (dilatation, résistance, f.e.m. ...) d'une certaine substance (solide, liquide, gaz) à la sensation physiologique de température.

Exemple :

Exemples de grandeurs thermométriques :

Résistance électrique d'un fil métallique^[1]

Force électromotrice d'un thermocouple^[2]

Des points fixes en leur attribuant des valeurs numériques arbitraires :

Exemple :

Exemples de points fixes :

Parmi les plus connus nous trouvons :

Le point glace : Equilibre eau solide - eau liquide (sous pression normale) affecté suivant les échelles de température des valeurs :

$0$ (Réaumur^[3] et Celsius^[4]) ; $32$ (Fahrenheit^[5]) ; $\mathrm{273,15}$ (Kelvin^[6]) ; $\mathrm{491,67}$ (Rankine^[7])

Le point vapeur : Equilibre eau liquide - vapeur d'eau (sous pression normale) affecté des valeurs :

$80$ (Réaumur^[3]) ; $100$ (Celsius^[4]) ; $212$ (Fahrenheit^[5]); $\mathrm{373,15}$ (Kelvin^[6]) ; $\mathrm{671,67}$ (Rankine^[7])

$\qquad$

D'autres points fixes sont définis dans une "Echelle Internationale Pratique de Température"^[8]

Tableau de comparaison des températures dans différentes échelles

$\textrm{Echelle}$	$\textrm{Kelvin}$	$\textrm{Celsius}$	$\textrm{Rankine}$	$\textrm{Fahrenheit}$	$\textrm{R\'eaumur}$
symbole	$\textrm{K}$	$^{\circ}\textrm{C}$	$^{\circ}\textrm{R'}$	$^{\circ}\textrm{F}$	$^{\circ}\textrm{R}$
point vapeur	$\mathrm{373,15}$	$100$	$\mathrm{671,67}$	$212$	$80$
point glace	$\mathrm{273,15}$	$0$	$\mathrm{491,67}$	$32$	$0$
	$\mathrm{255,37}$	$\mathrm{-17,78}$	$\mathrm{459,67}$	$0$	$\mathrm{-14,22}$
	$0$	$\mathrm{-273,15}$	$0$	$\mathrm{-459,67}$	$\mathrm{-218,52}$

A l'échelle absolue de Kelvin correspond l'échelle des degrés Celsius ( $1\textrm{K} = 1^{\circ}\textrm{C} = 1/100$ de l'écart point glace - point vapeur) :

$T(\textrm{K}) = t(^{\circ}\textrm{C}) + \mathrm{273,15}$

De même à l'échelle des températures absolues de Rankine correspond l'échelle des degrés Fahrenheit

( $1^{\circ}\textrm{R'} = 1^{\circ}\textrm{F} = 1/180$ de l'écart point glace - point vapeur) :

$\theta(^{\circ}\textrm{R'}) = \theta(^{\circ}\textrm{F}) + \mathrm{459,67}$

Pour un autre choix de température

reltemp.param [param]

Une fonction thermométrique
La fonction thermométrique $\theta$ peut être une fonction affine de la grandeur thermométrique $x$ :
$\theta(x) = \alpha x + \beta$
Les coefficients $\alpha$ et $\beta$ sont déterminés à partir des valeurs de la grandeur thermométrique en deux points fixes $\theta$ .
L'utilisation de $3$ points fixes est nécessaires pour une fonction thermométrique polynomiale du second degré : $\theta(x) = Ax^2 + Bx + C$
- Cas d'une échelle centésimale : échelle Celsius
  Si $x_0$ et $x_{100}$ sont les valeurs mesurées au point glace et point vapeur, les relations $\theta(x_0) = 0^{\circ}\textrm{C}$ et $\theta(x_{100}) = 100^{\circ}\textrm{C}$ permettent de déterminer $\alpha$ et $\beta$ d'où :
  $\theta(x)^{\circ}\textrm{C} = 100^{\circ}\textrm{C} \frac{x_{\theta} - x_{0}}{x_{100} - x_{0}}$
- Cas d'une échelle non centésimale : échelle Fahrenheit
  Les points fixes sont toujours les points glace et vapeur auxquels on attribue respectivement les valeurs $32 ^{\circ}\textrm{F}$ et $212 ^{\circ}\textrm{F}$
  $\theta (x_{32}) = 32^{\circ}\textrm{F}$ et $\theta (x_{212}) = 212^{\circ}\textrm{F}$
  La détermination de $\alpha$ et $\beta$ conduit à :
  $\theta(x)^{\circ}\textrm{F} = 32^{\circ}\textrm{F} + 180^{\circ}\textrm{F} \frac{x_{\theta} - x_{32}}{x_{212} - x_{32}}$

Notes

Résistance électrique d'un fil métallique
Le thermomètre à résistance de platine (Pt) utilise la variation de la résistance électrique du platine en fonction de la température.
$\textrm{ Entre } -190^{\circ} \textrm{C} \textrm{ et } 0^{\circ} \textrm{C}$ : $R(t) = R_0 ~[1+ \alpha ~t + \beta ~t^2 + \gamma ~t^3 (t-100) ]$
Les constantes $R_0,~ \alpha ,~ \beta,~ \gamma$ sont déterminées à l'aide de quatre points fixes :
- $- 182,96^{\circ} \textrm{C}$ ( température d'ébullition de l'oxygène pur)
- $0^{\circ} \textrm{C}$ ( température de fusion de la glace pure sous la pression atmosphérique normale)
- $100^{\circ} \textrm{C}$ ( température d'ébullition de l'eau pure sous la pression atmosphérique normale)
- $444,60^{\circ} \textrm{C}$ ( température d'ébullition du soufre)
$\textrm{ Entre } 0^{\circ} \textrm{C} \textrm{ et } 660^{\circ} \textrm{C}$ :
La variation de la résistance de platine en fonction de la température peut être représentée par la formule simplifiée :
$R(t) = R_0 [1+ \alpha t + \beta t^2 ]$
Ordre de grandeurs des coefficients :
$\alpha ≈ 3,9 \cdot {10^{-3}}~^{\circ} \textrm{C}^{-1}$
$\beta ≈ - 5,8 \cdot {10^{-7}}~^{\circ} \textrm{C}^{-2}$
$\gamma ≈ - 4,2 \cdot {10^{-12}}~^{\circ} \textrm{C}^{-4}$
Force électromotrice d'un thermocouple
La force électromotrice $E(t)$ d'un couple thermoélectrique ( ou thermocouple) Platine - Platine rhodié ( $10\%$ de Rhodium) dont la soudure froide est à $0^{\circ}\textrm{C}$ est fonction de la température $t$ :
$\textrm{ Entre } 660^{\circ}\textrm{C} \textrm{ et } 1063^{\circ}\textrm{C}$ : $E(t) = a + bt + ct^2$
Les constantes $a, ~b, ~ c$ sont déterminées par les trois points fixes
- $+ 630,50^{\circ}\textrm{C}$ (température de fusion de l'Antimoine)
- $+ 960,8^{\circ}\textrm{C}$ ( température de fusion de l'Argent)
- $+ 1063,0^{\circ}\textrm{C}$ (température de fusion de l'Or)
Réaumur (René Antoine Ferchault de) :
Physicien et naturaliste français, né à la Rochelle (1683 - 1757)
Le degré Réaumur $(^{\circ}\textrm{R})$ est défini, sous pression normale, par :
- $0^{\circ}\textrm{R}$ correspond à l'équilibre eau solide - eau liquide
- $80^{\circ}\textrm{R}$ à l'équilibre eau liquide - vapeur d'eau
Cette unité est actuellement abandonnée.
Correspondance entre la température Réaumur $\theta$ et la température Celsius : $\theta (^{\circ}\textrm{R}) = 0,8 ~T(^{\circ}\textrm{C})$ .
Celsius (Anders) :
Astronome et physicien suédois, né à Uppsala (1701 - 1744)
Le degré centigrade ou degré Celsius $(^{\circ}\textrm{C})$ est défini, sous pression normale, comme étant la centième partie de l'écart séparant la température de l'eau bouillante de celle de la glace fondante :
- $0^{\circ}\textrm{C}$ correspond à l'équilibre eau solide - eau liquide
- $100^{\circ}\textrm{C}$ à l'équilibre eau liquide - vapeur d'eau
Le degré Celsius est pratiquement le plus utilisé.
Correspondance entre la température Celsius $t$ et la température Kelvin $T : t (^{\circ}\textrm{C}) = T(K) - \mathrm{273,15}$ .
Fahrenheit (Daniel Gabriel) :
Physicien allemand, né à Dantzig (1686 - 1736)
Le degré Fahrenheit $(^{\circ} \textrm{F})$ est défini, sous pression normale, par :
- $32^{\circ} \textrm{F}$ correspond à l'équilibre eau solide - eau liquide
- $212^{\circ} \textrm{F}$ à l'équilibre eau liquide - vapeur d'eau
Cette unité est actuellement utilisée aux Etats - Unis.
Correspondance entre la température Fahrenheit $\theta$ et la température Celsius $t : \theta (^{\circ} \textrm{F}) = (9/5) ~t (^{\circ} \textrm{C}) + 32.$
Kelvin (Sir William Thomson, Lord) :
Physicien anglais, né à Belfast (1824 - 1907)
Le kelvin $(\textrm{K})$ est défini, sous pression normale, comme étant la centième partie de l'écart séparant la température de l'eau bouillant de celle de la glace fondante $(1\textrm{K est \'egal \`a 1}^{\circ}C)$ :
- $\textrm{273,15 K}$ correspond à l'équilibre eau solide - eau liquide
- $\textrm{373,15 K}$ à l'équilibre eau liquide - vapeur d'eau
La définition du kelvin date de 1967 : le kelvin est la fraction $1/\mathrm{273,16}$ de la température thermodynamique du point triple de l'eau
Cette échelle absolue (échelle des Physiciens) commence au zéro absolu.
Correspondance entre la température Kelvin $T$ et la température Celsius $t : T (K) = t ~(^{\circ}\textrm{C}) + \mathrm{273,15}$ .
Rankine (William) :
Ingénieur écossais, né à Edimbourg (1820 - 1872)
Le degré Rankine $(^{\circ}\textrm{ R'})$ est défini, sous pression normale, par :
- $\mathrm{491,67}^{\circ}\textrm{ R'}$ correspond à l'équilibre eau solide - eau liquide
- $\mathrm{671,67}^{\circ}\textrm{ R'}$ à l'équilibre eau liquide - vapeur d'eau
Correspondance entre la température Rankine $\theta$ et la température Kelvin $T : \theta (^{\circ} \textrm{ R'}) = 1,8 ~T(^{\circ}\textrm{C})$

Echelle Internationale Pratique de Température

Points fixes définis sous pression atmosphérique (sauf pour les points triples)

$\textrm{Points fixe}$	$\textrm{T(K)}$	$\textrm{t}(^{\circ}\textrm{C})$
Point triple de l'hydrogène	$\mathrm{13,81}$	$\mathrm{-259,34}$
Point d'ébullition de l'hydrogène	$\mathrm{20,28}$	$\mathrm{-252,87}$
Point d'ébullition du néon	$\mathrm{27,102}$	$\mathrm{-246,048}$
Point triple de l'oxygène	$\mathrm{54,361}$	$\mathrm{-218,789}$
Point d'ébullition de l'oxygène	$\mathrm{90,188}$	$\mathrm{-182,962}$
Point triple de l'eau	$\mathrm{273,16}$	$\mathrm{0,01}$
Point d'ébullition de l'eau	$\mathrm{373,15}$	$\mathrm{100}$
Point de congélation du zinc	$\mathrm{692,73}$	$\mathrm{419,58}$
Point de congélation de l'argent	$\mathrm{1235,08}$	$\mathrm{961,93}$
Point de congélation de l'or	$\mathrm{1337,58}$	$\mathrm{1064,43}$