Grandeurs - Symboles - Dimensions

Sachant que :

la vitesse $v = l / t$ a pour dimension $\textrm{dim }v = \textrm{dim }l / \textrm{dim }t = L T^{-1}$

L'accélération $a = v / t$ a pour dimension $\textrm{dim }a = \textrm{dim }v / \textrm{dim }t = L T^{-2}$

La force $f = ma$ a pour dimension $\textrm{dim }f = \textrm{dim }m \times \textrm{dim }a = LMT^{-2}$

alors :

le travail $W = f ~l$ a pour dimension $\textrm{dim }W = \textrm{dim }f \times \textrm{dim }l = L^{2}MT^{-2}$

En associant aux dimensions $L, M, T$ les unités $\textrm{m, kg }$ et $\textrm{s} ~\textrm{(S.I.)}$ nous obtenons pour le travail l'unité :$\textrm{m}^2 \textrm{kg} ~\textrm{s} ^{-2}$ appelée joule $(\textrm{J})$ ou newton-mètre $(\textrm{Nm})$.

Détermination de la relation entre le newton, unité de force dans le système $\textrm{SI}$ et la dyne, unité de force de le système $\textrm{CGS}$ $\textrm{(cm, g, s)}$ :

désignons $(F_0), (L_0), (M_0)$ et $(T_0)$ les unités de force, de longueur, de masse et de temps du système $\textrm{CGS}$ et $(F_0' ), (L_0' ), (M_0' )$ et $(T_0' )$ les unités correspondantes du $\textrm{SI}$, alors :

$L = \frac{(L_{0}')}{(L_0)} = \frac{\textrm{m\`etre}}{\textrm{centim\`etre}} = 10^{2}$

$M = \frac{(M_{0}')}{(M_0)} = \frac{\textrm{kilogramme}}{\textrm{gramme}} = 10^{3}$

$T = \frac{(T_{0}')}{(T_0)} = \frac{\textrm{seconde}}{\textrm{seconde}} = 1$

Comme la dimension d'une force est : $\textrm{dim }F = [F] = LMT^{-2}$, nous obtenons :

$[F] = \frac{(F_{0}')}{(F_{0})} = \bigg(\frac{L_{0}'}{L_{0}}\bigg) \times \bigg(\frac{M_{0}'}{M_{0}}\bigg) \times \bigg(\frac{T_{0}'}{T_{0}}\bigg)^{-2} = 10^{2} \times 10^{3} \times 1 = 10^{5}$

d'où $(F_0' ) = 10^5 ~(F_0)$ donc $1 \textrm{ newton} = 10^5 \textrm{ dynes}$

La période $T$ d'un pendule simple, fonction de la longueur $l$ et de l'accélération $g$ de la pesanteur pourrait se formuler :

$T_{1} = \pi l g \qquad ; T_{2} = \frac{1}{2 \pi} \frac{l}{g} \qquad ; T_{3} = 2 \pi \sqrt{lg}$

$T_{4} = \sqrt{\frac{l}{g}} \qquad ; T_{5} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \qquad ; T_{6} = 2 \pi \frac{1}{lg}$

Sachant que $\textrm{dim (p\'eriode)} = T$, seule $T_4$ a pour dimension :

$\textrm{dim} \bigg(\sqrt{\frac{l}{g}}\bigg) = \frac{L^{1/2}}{(LT^{-2})^{1/2}} = T$

Il est à remarquer que l'homogénéité de la formule ne conduit pas à la relation exacte de la période car la constante n'intervient pas dans l'équation aux dimensions.

Les grandeurs $A$ et $B$ sont dites homogènes, de même dimension, si : $A = k ~B$ avec $k$ réel.

Détermination d'une loi physique dans le cas où des expériences ont montré que la vitesse de propagation $v$ d'une déformation transversale le long d'une corde ne dépendait que de la masse linéique $m$ et de la tension $F$ de cette corde.

L'expression de $v$ peut se mettre sous la forme : $v = k ~m ^a ~F^b$ où $k$ est un coefficient sans dimension

Sachant que :

$\textrm{dim }v = LT^{-1}$

$\textrm{dim }m = ML^{-1}$

$\textrm{dim }F = MLT^{-2}$

l'équation aux dimensions s'écrit : $LT^{-1} = (ML^{-1})^a (MLT^{-2})^b = M^{a \textrm{ + } b} L^{-a \textrm{ +} b} T^{-2b}$

Par identification :

$\left. \begin{array}{c} \alpha + \beta = 0 \\ - \alpha + \beta = 1 \\ -2 \beta = -1 \end{array} \right\}\quad \alpha = - \beta = - \frac{1}{2}$

d'où la formulation de la vitesse :

$v = k \sqrt{\frac{F}{\mu}}$

Pour la dimension $L^2MT^{-3}$ nous pouvons trouver :

des puissances exprimées en watts :

• puissance électrique $P_{e} = UI$

  $\textrm{dim }P_{e} = (L^{2}MT^{-3}I^{-1})I = L^{2}MT^{-3}$

• puissance mécanique $P_{m} = Fl/t$

  $\textrm{dim } P_{m} = (LMT^{-2})L/T = L^{2}MT^{-3}$

• puissance calorique $P_{c} = Q/t$

  $\textrm{dim } P_{c} = L^{2}MT^{-2}/T = L^{2}MT^{-3}$

une puissance électrique en courant alternatif sinusoïdal exprimée dans des unités différentes :

• puissance active $P = UI~ \cos j$ en watts $(\textrm{W})$

• puissance réactive $Q = UI ~\sin j$ en vars $(\textrm{var})$

• puissance apparente $S = U I$ en voltampères $(\textrm{VA})$