Équation aux dimensions
Définition :
La mesure d'une vitesse \((V)\) d'un mobile animé d'un mouvement rectiligne uniforme s'exprime en fonction de l'espace parcouru \((L )\) pendant le temps \((T )\) par la relation numérique : \(v = l / t\) dans le système d'unités \([ (V_0),(L_0),(T_0) ]\)
Un changement d'unités \([ (V_0' ),(L_0' ),(T_0' ) ]\) conduirait à la relation \(v ' = l' / t'\)
Par définition de la dimension d'une grandeur, nous poserons pour les grandeurs de base :
\(L = \frac{(L_{0}')}{(L_{0})} ~\textrm{ et } ~ T = \frac{(T_{0}')}{(T_{0})}\)
et pour la grandeur dérivée : \([V] = \frac{(V_{0}')}{(V_{0})}\)
Le rapport des vitesses \(\frac{v}{v'} = \frac{l}{l'} \times \frac{t'}{t}\) conduit à une relation entre rapports d'unités
\(\frac{(V_{0}')}{(V_{0})} = \frac{(L_{0}')}{(L_{0})} \times \frac{(T_{0})}{(T_{0}')}\) c'est-à-dire \([V] = L \times \frac{1}{T} = L T^{-1}\)
appelée "Équation aux dimensions"
Plus généralement, dans la symbolique dimensionnelle des grandeurs de base, on appelle dimension d'une grandeur dérivée \((G)\), la relation:
\(\textrm{dim }G = [G] = L^{\alpha}M^{\beta}T^{\gamma}I^{\delta} \Theta^{\varepsilon}N^{\mu}J^{\nu}\)
où \(\alpha, \beta, \gamma ...\in \mathbb{Q}\) sont les exposants dimensionnels de \(G\).
Cas particuliers : si \(\alpha = \beta = \gamma = ... = 0 , \textrm{ dim } G = 1\) et la grandeur est dite sans dimension
Exemple :
Force \((F)\) : \(\textrm{dim }F = LMT^{-2}\)
Résistance électrique \((R)\) : \(\textrm{dim } R = L^2MT^{-3}I^{-2}\)
Effusivité thermique \((b)\) : \(\textrm{dim }b = MT^{-5/2}\Theta^{-1}\)
Entropie molaire \((S_m)\) : \(\textrm{dim }S_m = L^2MT^{-2}\Theta^{-1}N^{-1}\)
Eclairement lumineux \((E)\) : \(\textrm{dim }E = L^{-2}J\)
Décrément logarithmique \((\Lambda)\) : \(\textrm{dim } \Lambda = 1\)
Application de l'équation aux dimensions
L'équation aux dimensions permet :
de déterminer, la dimension et l'unité, d'une grandeur dérivée en fonction des dimensions et unités des grandeurs fondamentales.
d'effectuer éventuellement des changements d'unités.
de vérifier l'homogénéité des formules littérales.
Les grandeurs \(A\) et \(B\) sont dites homogènes et de même dimension, si \(A = k ~B\) avec \(k\) réel.
de prévoir par une analyse dimensionnelle une formule traduisant une loi physique.
En effet, si des variables indépendantes, interviennent dans une étude expérimentale d'un phénomène, celles-ci seront groupées sous forme de monômes. L'homogénéité de la relation déterminera l'expression de la loi.
L'équation aux dimensions ne nous renseigne pas sur la nature exacte d'une grandeur.
Dimension et unité d'un travail mécanique
Sachant que :
la vitesse \(v = l / t\) a pour dimension \(\textrm{dim }v = \textrm{dim }l / \textrm{dim }t = L T^{-1}\)
L'accélération \(a = v / t\) a pour dimension \(\textrm{dim }a = \textrm{dim }v / \textrm{dim }t = L T^{-2}\)
La force \(f = ma\) a pour dimension \(\textrm{dim }f = \textrm{dim }m \times \textrm{dim }a = LMT^{-2}\)
alors :
le travail \(W = f ~l\) a pour dimension \(\textrm{dim }W = \textrm{dim }f \times \textrm{dim }l = L^{2}MT^{-2}\)
En associant aux dimensions \(L, M, T\) les unités \(\textrm{m, kg }\) et \(\textrm{s} ~\textrm{(S.I.)}\) nous obtenons pour le travail l'unité :\( \textrm{m}^2 \textrm{kg} ~\textrm{s} ^{-2}\) appelée joule \((\textrm{J})\) ou newton-mètre \((\textrm{Nm})\).
Relation entre le newton et la dynée
Détermination de la relation entre le newton, unité de force dans le système \(\textrm{SI}\) et la dyne, unité de force de le système \(\textrm{CGS}\) \(\textrm{(cm, g, s)}\) :
désignons \((F_0), (L_0), (M_0)\) et \((T_0)\) les unités de force, de longueur, de masse et de temps du système \(\textrm{CGS}\) et \((F_0' ), (L_0' ), (M_0' )\) et \((T_0' )\) les unités correspondantes du \(\textrm{SI}\), alors :
\(L = \frac{(L_{0}')}{(L_0)} = \frac{\textrm{m\`etre}}{\textrm{centim\`etre}} = 10^{2}\)
\(M = \frac{(M_{0}')}{(M_0)} = \frac{\textrm{kilogramme}}{\textrm{gramme}} = 10^{3}\)
\(T = \frac{(T_{0}')}{(T_0)} = \frac{\textrm{seconde}}{\textrm{seconde}} = 1\)
Comme la dimension d'une force est : \(\textrm{dim }F = [F] = LMT^{-2}\), nous obtenons :
\([F] = \frac{(F_{0}')}{(F_{0})} = \bigg(\frac{L_{0}'}{L_{0}}\bigg) \times \bigg(\frac{M_{0}'}{M_{0}}\bigg) \times \bigg(\frac{T_{0}'}{T_{0}}\bigg)^{-2} = 10^{2} \times 10^{3} \times 1 = 10^{5}\)
d'où \((F_0' ) = 10^5 ~(F_0)\) donc \(1 \textrm{ newton} = 10^5 \textrm{ dynes}\)
Période T d'un pendule simple
La période \(T\) d'un pendule simple, fonction de la longueur \(l\) et de l'accélération \(g\) de la pesanteur pourrait se formuler :
\(T_{1} = \pi l g \qquad ; T_{2} = \frac{1}{2 \pi} \frac{l}{g} \qquad ; T_{3} = 2 \pi \sqrt{lg}\)
\(T_{4} = \sqrt{\frac{l}{g}} \qquad ; T_{5} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \qquad ; T_{6} = 2 \pi \frac{1}{lg}\)
Sachant que \(\textrm{dim (p\'eriode)} = T\), seule \(T_4\) a pour dimension :
\(\textrm{dim} \bigg(\sqrt{\frac{l}{g}}\bigg) = \frac{L^{1/2}}{(LT^{-2})^{1/2}} = T\)
Il est à remarquer que l'homogénéité de la formule ne conduit pas à la relation exacte de la période car la constante n'intervient pas dans l'équation aux dimensions.
Les grandeurs \(A\) et \(B\) sont dites homogènes, de même dimension, si : \(A = k ~B\) avec \(k\) réel.
Détermination d'une loi physique
Détermination d'une loi physique dans le cas où des expériences ont montré que la vitesse de propagation \(v\) d'une déformation transversale le long d'une corde ne dépendait que de la masse linéique \(m\) et de la tension \(F\) de cette corde.
L'expression de \(v\) peut se mettre sous la forme : \(v = k ~m ^a ~F^b\) où \(k\) est un coefficient sans dimension
Sachant que :
\(\textrm{dim }v = LT^{-1}\)
\(\textrm{dim }m = ML^{-1}\)
\(\textrm{dim }F = MLT^{-2}\)
l'équation aux dimensions s'écrit : \(LT^{-1} = (ML^{-1})^a (MLT^{-2})^b = M^{a \textrm{ + } b} L^{-a \textrm{ +} b} T^{-2b}\)
Par identification :
\(\left. \begin{array}{c} \alpha + \beta = 0 \\ - \alpha + \beta = 1 \\ -2 \beta = -1 \end{array} \right\}\quad \alpha = - \beta = - \frac{1}{2}\)
d'où la formulation de la vitesse :
\(v = k \sqrt{\frac{F}{\mu}}\)
Nature exacte d'une grandeur
Pour la dimension \(L^2MT^{-3}\) nous pouvons trouver :
des puissances exprimées en watts :
puissance électrique \(P_{e} = UI\)
\(\textrm{dim }P_{e} = (L^{2}MT^{-3}I^{-1})I = L^{2}MT^{-3}\)
puissance mécanique \(P_{m} = Fl/t\)
\(\textrm{dim } P_{m} = (LMT^{-2})L/T = L^{2}MT^{-3}\)
puissance calorique \(P_{c} = Q/t\)
\(\textrm{dim } P_{c} = L^{2}MT^{-2}/T = L^{2}MT^{-3}\)
une puissance électrique en courant alternatif sinusoïdal exprimée dans des unités différentes :
puissance active \(P = UI~ \cos j\) en watts \((\textrm{W})\)
puissance réactive \(Q = UI ~\sin j\) en vars \((\textrm{var})\)
puissance apparente \(S = U I\) en voltampères \((\textrm{VA})\)